Análise de regressão

By Dr. benjamim anderson Agosto 2, 2023 Estatisticas 0 Comments

Este artigo explica o que é a análise de regressão e para que ela é usada nas estatísticas. Além disso, você poderá ver quais são os diferentes tipos de análise de regressão.

O que é análise de regressão?

Em estatística, a análise de regressão é um processo no qual se estuda a relação entre duas ou mais variáveis. Mais especificamente, a análise de regressão envolve o cálculo de uma equação que relaciona matematicamente as variáveis do estudo.

O modelo construído em uma análise de regressão é denominado modelo de regressão, enquanto a equação que relaciona as variáveis estudadas é denominada equação de regressão.

Por exemplo, se quiser estudar a relação entre a inflação de um país e o seu PIB, pode realizar uma análise de regressão para analisar a relação entre as duas variáveis. Nesse caso, a equação obtida na análise de regressão seria uma reta de regressão.

Assim, uma análise de regressão consiste na coleta de uma amostra de dados e, a partir dos dados coletados, é calculada uma equação que permite relacionar matematicamente as variáveis estudadas.

Nas análises de regressão, é importante distinguir entre os dois tipos de variáveis que podem ser incluídas no modelo de regressão:

Variável dependente (ou variável resposta) : este é o fator que queremos analisar, portanto será construído um modelo de regressão para ver como o valor desta variável varia dependendo do valor de outras variáveis.
Variável independente (ou variável explicativa) : é um fator que consideramos provável de influenciar a variável que desejamos analisar. Ou seja, o valor da variável independente afeta o valor da variável dependente.

Tipos de análise de regressão

Basicamente, existem três tipos de análise de regressão :

Análise de regressão linear simples : O modelo de regressão possui uma variável independente e uma variável dependente e elas estão linearmente relacionadas.
Análise de regressão linear múltipla : duas ou mais variáveis independentes estão linearmente relacionadas a uma variável dependente.
Análise de regressão não linear : A relação entre a variável independente e a variável dependente é modelada usando uma função não linear.

Análise de regressão linear simples

A regressão linear simples é usada para relacionar uma variável independente a ambas as variáveis usando uma equação linear.

A equação de um modelo de regressão linear simples é uma reta, portanto é composta por dois coeficientes: a constante da equação (β ₀ ) e o coeficiente de correlação entre as duas variáveis (β ₁ ). Portanto, a equação para um modelo de regressão linear simples é y=β ₀ +β ₁ x.

$y=\beta_0+\beta_1x$

As fórmulas para cálculo dos coeficientes de regressão linear simples são as seguintes:

$\begin{array}{c}\beta_1=\cfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}\\[12ex]\beta_0=\overline{y}-\beta_1\overline{x}\end{array}$

Ouro:

$\beta_0$

é a constante da linha de regressão.
$\beta_1$

é a inclinação da linha de regressão.
$x_i$

é o valor da variável independente X dos dados i.
$y_i$

é o valor da variável dependente Y dos dados i.
$\overline{x}$

é a média dos valores da variável independente
$\overline{y}$

é a média dos valores da variável dependente Y.

➤ Veja: Regressão linear simples

Análise de regressão linear múltipla

Num modelo de regressão linear múltipla , pelo menos duas variáveis independentes são incluídas. Em outras palavras, a regressão linear múltipla permite que diversas variáveis explicativas sejam ligadas linearmente a uma variável resposta. Portanto, a equação para um modelo de regressão linear múltipla é:

$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\dots+\beta_m x_m+\varepsilon$

Ouro:

$y$

é a variável dependente.
$x_i$

é a variável independente eu.
$\beta_0$

é a constante da equação de regressão linear múltipla.
$\beta_i$

é o coeficiente de regressão associado à variável

$x_i$

.
$\bm{\varepsilon}$

é o erro ou resíduo, ou seja, a diferença entre o valor observado e o valor estimado pelo modelo.
$m$

é o número total de variáveis no modelo.

Então, se tivermos uma amostra com um total de

$n$

observações, podemos colocar o modelo de regressão linear múltipla em forma de matriz:

$\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&x_{11}&\dots&x_{1m}\\1&x_{21}&\dots&x_{2m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&x_{n1}&\dots&x_{nm}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\beta_0\\\beta_1\\\vdots\\\beta_m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}$

A expressão matricial acima pode ser reescrita atribuindo uma letra a cada matriz:

$Y=X\beta+\varepsilon$

Assim, aplicando o critério dos mínimos quadrados, podemos chegar à fórmula para estimar os coeficientes de um modelo de regressão linear múltipla :

$\widehat{\beta}=\left(X^tX\right)^{-1}X^tY$

No entanto, a aplicação desta fórmula é muito trabalhosa e demorada, razão pela qual na prática se recomenda a utilização de software informático (como Minitab ou Excel) que permite criar um modelo de regressão múltipla com muito mais rapidez.

➤ Veja: Regressão linear múltipla

Análise de regressão não linear

Em estatística, a regressão não linear é um tipo de regressão em que uma função não linear é usada como modelo da equação de regressão. Portanto, a equação de um modelo de regressão não linear é uma função não linear.

Logicamente, a regressão não linear é usada para relacionar a variável independente com a variável dependente quando a relação entre as duas variáveis não é linear. Portanto, se ao traçarmos o gráfico dos dados amostrais observarmos que eles não possuem uma relação linear, ou seja, não formam aproximadamente uma linha reta, é melhor ‘utilizar um modelo de regressão não linear.

Por exemplo, a equação y=3-5x-8x ² +x ³ é um modelo de regressão não linear porque relaciona matematicamente a variável independente X com a variável dependente Y por meio de uma função cúbica.

Existem basicamente três tipos de regressão não linear :

Regressão Polinomial – Regressão não linear cuja equação está na forma de um polinômio.

$y=\beta_0+\beta_1 x+\beta_2 x^2+\beta_3 x^3+\dots+\beta_m x^m$

Regressão Logarítmica – Regressão não linear em que a variável independente é logaritmizada.

$y=\beta_0+\beta_1\cdot \ln(x)$

Regressão Exponencial – Regressão não linear em que a variável independente reside no expoente da equação.

$y=\beta_0\cdot e^{\beta_1\cdot x}$

➤ Veja: Regressão não linear

Para que é usada a análise de regressão?

A análise de regressão tem basicamente dois usos: a análise de regressão é usada para explicar a relação entre as variáveis explicativas e a variável de resposta e da mesma forma, a análise de regressão é usada para prever o valor da variável dependente para uma nova observação.

Ao obter a equação do modelo de regressão, podemos saber que tipo de relação existe entre as variáveis do modelo. Se o coeficiente de regressão de uma variável independente for positivo, a variável dependente aumentará à medida que aumenta. ao passo que se o coeficiente de regressão de uma variável independente for negativo, a variável dependente diminuirá à medida que aumenta.

Por outro lado, a equação matemática obtida na análise de regressão também nos permite fazer previsões de valores. Assim, ao introduzir os valores das variáveis explicativas na equação do modelo de regressão, podemos calcular o valor da variável dependente para um novo dado.

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Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais