Regra de multiplicação

By Dr. benjamim anderson Agosto 1, 2023 Probabilidade 0 Comments

Este artigo explica o que é a regra da multiplicação, também chamada de regra do produto, na teoria das probabilidades. Assim, você encontrará o que é a fórmula da regra da multiplicação, exemplos de como calcular uma probabilidade usando a regra da multiplicação e, além disso, diversos exercícios resolvidos para praticar.

A regra de multiplicação depende se os acontecimentos são independentes ou dependentes, por isso veremos primeiro como é a regra para acontecimentos independentes e depois para acontecimentos dependentes.

Regra de multiplicação para eventos independentes

Lembre-se de que eventos independentes são resultados de um experimento estatístico cuja probabilidade de ocorrência não depende um do outro. Em outras palavras, dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de ocorrência do evento A não depender da ocorrência do evento B e vice-versa.

➤ Veja: O que são eventos independentes?

Fórmula de regra de multiplicação para eventos independentes

Quando dois eventos são independentes, a regra de multiplicação diz que a probabilidade conjunta de ambos os eventos ocorrerem é igual ao produto da probabilidade de cada evento ocorrer.

Portanto, a fórmula para a regra de multiplicação para eventos independentes é:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Ouro:

$A$

E

$B$

Estes são dois eventos independentes.
$P(A\cap B)$

é a probabilidade conjunta de que o evento A e o evento B ocorram.
$P(A)$

é a probabilidade de que o evento A ocorra.
$P(B)$

é a probabilidade de que o evento B ocorra.

➤ Veja: O que é probabilidade conjunta?

Exemplo de regra de multiplicação para eventos independentes

Uma moeda é lançada três vezes seguidas. Calcule a probabilidade de obter cara nos três lançamentos.

Neste caso, os eventos para os quais queremos calcular a probabilidade conjunta são independentes, pois o resultado de um empate não depende do resultado obtido no sorteio anterior. Portanto, para determinar a probabilidade conjunta de obter três caras consecutivas, precisamos usar a fórmula da regra de multiplicação para eventos independentes:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Quando lançamos uma moeda, existem apenas dois resultados possíveis: podemos obter cara ou coroa. Portanto, a probabilidade de obter cara ou coroa no lançamento de uma moeda é:

$P(\text{cara})=\cfrac{1}{2}=0,5$

$P(\text{cruz})=\cfrac{1}{2}=0,5$

Portanto, para encontrar a probabilidade de obter cara em todos os três lançamentos de moeda, precisamos multiplicar a probabilidade de obter cara por três:

$P(\text{cara}\cap \text{cara}\cap \text{cara})=0,5\cdot 0,5\cdot 0,5=0,125$

Resumindo, a probabilidade de obter cara três vezes seguidas é de 12,5%.

Abaixo você encontra todos os eventos possíveis representados com suas probabilidades em um diagrama de árvore, desta forma você pode ver melhor o processo que seguimos para obter a probabilidade conjunta:

➤ Veja: O que é um diagrama de árvore?

Regra de multiplicação para eventos dependentes

Agora que vimos o que é a regra de multiplicação para acontecimentos independentes, vamos ver como é esta lei para acontecimentos dependentes, uma vez que a fórmula varia um pouco.

Lembre-se de que os eventos dependentes são os resultados de um experimento aleatório cuja probabilidade de ocorrência depende um do outro. Ou seja, dois eventos são dependentes se a probabilidade de ocorrência de um evento afetar a probabilidade de ocorrência do outro evento.

➤ Veja: O que são eventos dependentes?

Fórmula de regra de multiplicação para eventos dependentes

Quando dois eventos são dependentes, a regra de multiplicação diz que a probabilidade conjunta de ambos os eventos ocorrerem é igual ao produto da probabilidade de ocorrência de um evento pela probabilidade condicional do outro evento, dado o primeiro evento.

Portanto, a fórmula para a regra de multiplicação para eventos dependentes é:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

Ouro:

$A$

E

$B$

Esses são dois eventos dependentes.
$P(A\cap B)$

é a probabilidade de que o evento A e o evento B ocorram.
$P(A)$

é a probabilidade de que o evento A ocorra.
$P(B|A)$

é a probabilidade condicional de o evento B ocorrer dado o evento A.

➤ Veja: O que é probabilidade condicional?

Exemplo de regra de multiplicação para eventos dependentes

Numa caixa vazia colocamos 8 bolas azuis, 4 bolas laranja e 2 bolas verdes. Se tirarmos primeiro uma bola e depois outra bola sem colocar a primeira bola retirada de volta na caixa, qual é a probabilidade de a primeira bola ser azul e a segunda bola laranja?

Nesse caso, os eventos são dependentes, pois a probabilidade de pegar uma bola laranja no segundo sorteio depende da cor da bola sorteada no primeiro sorteio. Portanto, para calcular a probabilidade conjunta, precisamos usar a fórmula da regra de multiplicação para eventos dependentes:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

A probabilidade de obter uma bola azul no primeiro sorteio é fácil de determinar, bastando dividir o número de bolas azuis pelo número total de bolas:

$P(\text{bola azul})=\cfrac{8}{8+4+2}=\cfrac{8}{14}=0,57$

Por outro lado, a probabilidade de tirar uma bola laranja depois de tirar uma bola azul é calculada de forma diferente porque o número de bolas laranja é diferente e, além disso, há agora uma bola a menos dentro da caixa:

$P(\text{bola naranja}|\text{bola azul})=\cfrac{4}{7+4+2}=\cfrac{4}{13}=0,31$

Assim, a probabilidade conjunta de tirar primeiro uma bola azul e depois uma bola laranja é calculada multiplicando as duas probabilidades encontradas acima:

$\begin{array}{l}P(\text{bola azul}\cap\text{bola naranja})=\\[2ex]=P(\text{bola azul})\cdot P(\text{bola naranja}|\text{bola azul})=\\[2ex]=0,57\cdot 0,31= \\[2ex]=0,18\end{array}$

➤ Veja: Regra de adição

Exercícios resolvidos da regra da multiplicação

Exercício 1

Numa cidade existem apenas 3 creches: 60% das crianças vão para a creche A, 30% para a creche B e 10% para a creche C. Além disso, nas três creches, 55% das pessoas são meninas. Calcule as seguintes probabilidades:

Probabilidade de que, quando uma criança for selecionada aleatoriamente na creche B, seja uma menina.
Probabilidade de que, quando uma criança for selecionada aleatoriamente em qualquer creche, seja um menino.

Veja a solução

Se a proporção de meninas em todas as creches for de 55%, o percentual de meninos é calculado simplesmente subtraindo 1 menos 0,55:

$P(\text{chico})=1-0,55=0,45$

Agora que conhecemos todas as probabilidades, podemos criar a árvore com as probabilidades de todas as possibilidades:

Nesse caso, os eventos são independentes, pois a probabilidade de ser menino ou menina independe da creche escolhida. Então, para encontrar a probabilidade de selecionar aleatoriamente uma menina da creche B, é necessário multiplicar a probabilidade de selecionar a creche B pela probabilidade de selecionar uma menina:

$P(\text{chica guarder\'ia B})=0,30\cdot 0,55=\bm{0,165}$

Por outro lado, para determinar a probabilidade de selecionar um menino em qualquer creche, devemos primeiro calcular a probabilidade de selecionar um menino para cada creche e depois somá-los:

$P(\text{chico guarder\'ia A})=0,6\cdot 0,45=0,27$

$P(\text{chico guarder\'ia B})=0,30\cdot 0,45=0,135$

$P(\text{chico guarder\'ia C})=0,10\cdot 0,45=0,045$

$P(\text{chico guarder\'ia A, B o C})=0,27+0,135+0,045=\bm{0,45}$

Exercício 2

Foi estudado o exercício financeiro de 25 empresas de um país e como os preços de suas ações mudam dependendo do resultado econômico do ano. Você pode ver os dados coletados na seguinte tabela de contingência:

exercício de probabilidade condicional resolvido

Qual é a probabilidade de uma empresa obter lucro e também ver o preço de suas ações subir?

Veja a solução

Neste caso, os eventos são dependentes porque a probabilidade de as ações subirem ou descerem depende do resultado económico. Portanto, precisamos aplicar a fórmula da regra de multiplicação para eventos dependentes:

$P(\text{beneficio}\cap\text{precio sube})}=P(\text{beneficio})\cdot P(\text{precio sube}|\text{beneficio})$

Portanto, calculamos primeiro a probabilidade de uma empresa obter lucro e, em segundo lugar, a probabilidade de as ações da empresa aumentarem quando ela obtiver lucro económico:

$P(\text{beneficio})=\cfrac{14}{25}=0,56$

$P(\text{precio sube}|\text{beneficio})=\cfrac{10}{14}=0,71$

A seguir, substituímos os valores calculados na fórmula e calculamos a probabilidade conjunta:

$\begin{array}{l}P(\text{beneficio}\cap\text{precio sube})}=\\[2ex]=P(\text{beneficio})\cdot P(\text{precio sube}|\text{beneficio})=\\[2ex]= 0,56\cdot 0,71=\\[2ex] =\bm{0,4} \end{array}$

About Author

Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais