Experimentos binomiais: uma explicação + exemplos

Compreender os experimentos binomiais é o primeiro passo para entender a distribuição binomial .

Este tutorial define um experimento binomial e fornece vários exemplos de experimentos que são ou não considerados experimentos binomiais.

Experimento binomial: definição

Um experimento binomial é um experimento que possui as quatro propriedades a seguir:

1. O experimento consiste em n tentativas repetidas. O número n pode ser qualquer valor. Por exemplo, se jogarmos uma moeda 100 vezes, então n = 100.

2. Cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis. Muitas vezes chamamos os resultados de “sucesso” ou “fracasso”, mas um “sucesso” é apenas um rótulo para algo com que contamos. Por exemplo, quando lançamos uma moeda, podemos chamar uma cara de “acerto” e uma coroa de “fracasso”.

3. A probabilidade de sucesso, denotada por p , é a mesma para cada tentativa. Para que um experimento seja um experimento binomial verdadeiro, a probabilidade de “sucesso” deve ser a mesma para cada tentativa. Por exemplo, quando lançamos uma moeda, a probabilidade de obter cara (“sucesso”) é sempre a mesma cada vez que lançamos uma moeda.

4. Cada teste é independente . Isto significa simplesmente que o resultado de uma tentativa não afeta o resultado de outra tentativa. Por exemplo, suponha que jogamos uma moeda e ela dá cara. O fato de cair cara não altera a probabilidade de cair cara no próximo lançamento. Cada lançamento (ou seja, cada “tentativa”) é independente.

Exemplos de experimentos binomiais

Os experimentos a seguir são exemplos de experimentos binomiais.

Exemplo 1

Jogue uma moeda 10 vezes. Registre o número de vezes que ele dá coroa.

Este é um experimento binomial porque possui as quatro propriedades a seguir:

• O experimento consiste em n tentativas repetidas. Neste caso, existem 10 tentativas.
• Cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis. A moeda só pode cair em cara ou coroa.
• A probabilidade de sucesso é a mesma para cada tentativa . Se definirmos “sucesso” como cair de cabeça, então a probabilidade de sucesso é exatamente 0,5 para cada tentativa.
• Cada teste é independente . O resultado de um empate não afeta o resultado de qualquer outro empate.

Exemplo #2

Jogue um dado justo de 6 lados 20 vezes. Registre o número de vezes que um 2 aparece.

Este é um experimento binomial porque possui as quatro propriedades a seguir:

• O experimento consiste em n tentativas repetidas. Neste caso, existem 20 tentativas.
• Cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis. Se definirmos um 2 como “sucesso”, então cada vez que o dado cair em um 2 (sucesso) ou em outro número (falha).
• A probabilidade de sucesso é a mesma para cada tentativa . Para cada tentativa, a probabilidade de o dado cair em 2 é 1/6. Esta probabilidade não muda de uma tentativa para outra.
• Cada teste é independente . O resultado de uma jogada de dados não afeta o resultado de outras jogadas de dados.

Exemplo #3

Tyler acerta 70% de suas tentativas de lance livre. Suponha que ele faça 15 tentativas. Registre o número de cestas que ele faz.

Este é um experimento binomial porque possui as quatro propriedades a seguir:

• O experimento consiste em n tentativas repetidas. Neste caso, existem 15 tentativas.
• Cada tentativa tem apenas dois resultados possíveis. Em cada tentativa, Tyler acerta a cesta ou erra.
• A probabilidade de sucesso é a mesma para cada tentativa . Para cada tentativa, a probabilidade de Tyler acertar a cesta é de 70%. Esta probabilidade não muda de uma tentativa para outra.
• Cada teste é independente . O resultado de uma tentativa de lance livre não afeta o resultado de qualquer outra tentativa de lance livre.

Exemplos que não são experimentos binomiais

Exemplo 1

Pergunte a 100 pessoas quantos anos elas têm .

Este não é um experimento binomial porque há mais de dois resultados possíveis.

Exemplo #2

Jogue um dado justo de 6 faces até que apareça um 5.

Este não é um experimento binomial porque não existe um número predefinido n de tentativas. Não temos ideia de quantos lançamentos serão necessários até que apareça um 5.

Exemplo #3

Retire 5 cartas de um baralho de cartas.

Este não é um experimento binomial porque o resultado de uma tentativa (por exemplo, tirar uma determinada carta do baralho) afeta o resultado das tentativas subsequentes.

Um exemplo e solução de experimento binomial

O exemplo a seguir mostra como resolver uma questão relativa a um experimento binomial.

Você joga uma moeda 10 vezes. Qual é a probabilidade de a moeda sair exatamente 7 caras?

Sempre que quisermos encontrar a probabilidade de n sucessos em um experimento binomial, precisamos usar a seguinte fórmula:

P(exatamente k sucessos) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Ouro:

• n: o número de tentativas
• k: o número de sucessos
• C: o símbolo de “combinação”
• p: probabilidade de sucesso em uma determinada tentativa

Inserindo esses números na fórmula, obtemos:

P (7 cabeças) = ₁₀ C ₇ * 0,5 ⁷ * (1-0,5) ^10-7 = (120) * (0,0078125) * (0,125) = 0,11719 .

Portanto, a probabilidade de a moeda dar cara 7 vezes é 0,11719 .