Uma introdução à distribuição hipergeométrica

A distribuição hipergeométrica descreve a probabilidade de escolher k objetos com uma determinada característica em n sorteios sem reposição, a partir de uma população finita de tamanho N contendo K objetos com esta característica.

Se uma variável aleatória X segue uma distribuição hipergeométrica, então a probabilidade de escolher k objetos com uma determinada característica pode ser encontrada pela seguinte fórmula:

P(X=k) = _K C _k ( _NK C _nk ) / _N C _n

Ouro:

• N: tamanho da população
• K: número de objetos na população com uma determinada característica
• n: tamanho da amostra
• k: número de objetos na amostra com uma determinada funcionalidade
• _K C _k : número de combinações de K coisas tiradas k de cada vez

Por exemplo, existem 4 Rainhas em um baralho padrão de 52 cartas. Suponha que escolhemos aleatoriamente uma carta de um baralho e então, sem reposição, escolhemos aleatoriamente outra carta do baralho. Qual é a probabilidade de ambas as cartas serem Damas?

Para responder isso, podemos usar a distribuição hipergeométrica com os seguintes parâmetros:

• N: tamanho da população = 52 cartas
• K: número de objetos na população com uma determinada característica = 4 rainhas
• n: tamanho da amostra = 2 sorteios
• k: número de objetos na amostra com uma determinada característica = 2 rainhas

Colocando esses números na fórmula, descobrimos que a probabilidade é:

P(X=2) = _K C _k ( _NK C _nk ) / _N C _n = ₄ C ₂ ( _52-4 C _2-2 ) / ₅₂ C ₂ = 6*1/ 1326 = 0,00452 .

Isso deve fazer sentido intuitivamente. Se você imaginar tirar duas cartas de um baralho, uma após a outra, a probabilidade de ambas as cartas serem Damas deve ser muito baixa.

Propriedades da distribuição hipergeométrica

A distribuição hipergeométrica tem as seguintes propriedades:

A média da distribuição é (nK) / N

A variância da distribuição é (nK)(NK)(Nn) / (N ² (n-1))

Problemas práticos de distribuição hipergeométrica

Use os seguintes problemas práticos para testar seu conhecimento sobre a distribuição hipergeométrica.

Nota: Usaremos a Calculadora de Distribuição Hipergeométrica para calcular as respostas a essas perguntas.

Problema 1

Pergunta: Suponha que escolhemos aleatoriamente quatro cartas de um baralho sem substituí-las. Qual é a probabilidade de duas das cartas serem Damas?

Para responder isso, podemos usar a distribuição hipergeométrica com os seguintes parâmetros:

• N: tamanho da população = 52 cartas
• K: número de objetos na população com uma determinada característica = 4 rainhas
• n: tamanho da amostra = 4 sorteios
• k: número de objetos na amostra com uma determinada característica = 2 rainhas

Colocando esses números na calculadora de distribuição hipergeométrica, descobrimos que a probabilidade é 0,025 .

Problema 2

Pergunta: Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 5 bolas verdes. Você escolhe aleatoriamente 4 bolas. Qual é a probabilidade de você escolher exatamente 2 bolas vermelhas?

Para responder isso, podemos usar a distribuição hipergeométrica com os seguintes parâmetros:

• N: tamanho da população = 8 bolas
• K: número de objetos na população com uma determinada característica = 3 bolas vermelhas
• n: tamanho da amostra = 4 sorteios
• k: número de objetos na amostra com uma determinada característica = 2 bolas vermelhas

Colocando esses números na calculadora de distribuição hipergeométrica, descobrimos que a probabilidade é 0,42857 .

Problema 3

Pergunta: Uma cesta contém 7 bolinhas roxas e 3 bolinhas rosa. Você escolhe aleatoriamente 6 bolinhas de gude. Qual é a probabilidade de você escolher exatamente 3 bolinhas rosa?

Para responder isso, podemos usar a distribuição hipergeométrica com os seguintes parâmetros:

• N: tamanho da população = 10 bolinhas de gude
• K: número de objetos na população com uma determinada característica = 3 bolas rosa
• n: tamanho da amostra = 6 sorteios
• k: número de objetos na amostra com uma determinada característica = 3 bolas rosa

Colocando esses números na calculadora de distribuição hipergeométrica, descobrimos que a probabilidade é 0,16667 .