Uma introdução à distribuição binomial negativa

A distribuição binomial negativa descreve a probabilidade de experimentar um certo número de falhas antes de experimentar um certo número de sucessos numa série de tentativas de Bernoulli.

Um ensaio de Bernoulli é uma experiência com apenas dois resultados possíveis – “sucesso” ou “fracasso” – e a probabilidade de sucesso é a mesma cada vez que a experiência é conduzida.

Um exemplo de ensaio de Bernoulli é o sorteio. A moeda só pode cair com duas caras (podemos chamar cara de “acerto” e coroa de “falha”) e a probabilidade de sucesso em cada lançamento é de 0,5, assumindo que a moeda é justa.

Se uma variável aleatória

P(X=k) = _k+r-1 C _k * (1-p) ^r *p ^k

Ouro:

• k: número de falhas
• r: número de sucessos
• p: probabilidade de sucesso em uma determinada tentativa
• _k+r-1 C _k : número de combinações de (k+r-1) coisas tomadas k de cada vez

Por exemplo, digamos que jogamos uma moeda e definimos um evento “bem-sucedido” como resultado de cara. Qual é a probabilidade de ocorrer 6 falhas antes de obter um total de 4 sucessos?

Para responder a esta questão, podemos usar a distribuição binomial negativa com os seguintes parâmetros:

• k: número de falhas = 6
• r: número de sucessos = 4
• p: probabilidade de sucesso em uma determinada tentativa = 0,5

Colocando esses números na fórmula, descobrimos que a probabilidade é:

P(X=6 falhas) = _6+4-1 C ₆ * (1-0,5) ⁴ *(0,5) ⁶ = (84)*(0,0625)*(0,015625) = 0,08203 .

Propriedades da distribuição binomial negativa

A distribuição binomial negativa tem as seguintes propriedades:

O número médio de falhas que esperamos antes de obtermos r sucessos é pr/(1-p) .

A variância do número de falhas esperadas antes de obter r sucessos é pr /(1-p) ² .

Por exemplo, digamos que jogamos uma moeda e definimos um evento “bem-sucedido” como resultado de cara.

O número médio de falhas (por exemplo, pouso de cauda) que esperaríamos antes de obter 4 sucessos seria pr/(1-p) = (.5*4) / (1-.5) = 4 .

A variação do número de falhas que esperamos antes de obter 4 sucessos seria pr/(1-p) ² = (.5*4)/(1-.5) ² = 8 .

Problemas práticos de distribuição binomial negativa

Use os seguintes problemas práticos para testar seu conhecimento sobre a distribuição binomial negativa.

Observação: usaremos a calculadora de distribuição binomial negativa para calcular as respostas a essas perguntas.

Problema 1

Pergunta: Suponha que joguemos uma moeda e definamos um evento “bem-sucedido” como dar cara. Qual é a probabilidade de ocorrer 3 falhas antes de obter um total de 4 sucessos?

Resposta: Usando a calculadora de distribuição binomial negativa com k = 3 falhas, r = 4 sucessos e p = 0,5, descobrimos que P(X=3) = 0,15625 .

Problema 2

Pergunta: Suponha que vamos de porta em porta vendendo doces. Consideramos um “sucesso” alguém comprar uma barra de chocolate. A probabilidade de uma determinada pessoa comprar uma barra de chocolate é de 0,4. Qual é a probabilidade de ocorrer 8 falhas antes de obter um total de 5 sucessos?

Resposta: Usando a calculadora de distribuição binomial negativa com k = 8 falhas, r = 5 sucessos e p = 0,4, descobrimos que P(X=8) = 0,08514 .

Problema 3

Pergunta: Suponha que lançamos um dado e definimos um lançamento “bem-sucedido” como o número 5. A probabilidade de o dado cair em 5 em um determinado lançamento é 1/6 = 0,167. Qual é a probabilidade de ocorrer 4 falhas antes de obter um total de 3 sucessos?

Resposta: Usando a calculadora de distribuição binomial negativa com k = 4 falhas, r = 3 sucessos e p = 0,167, descobrimos que P(X=4) = 0,03364 .