A aproximação de satterthwaite: definição e exemplo

A aproximação de Satterthwaite é uma fórmula usada para encontrar os “graus de liberdade efetivos” em um teste t de duas amostras.

É usado com mais frequência no teste t de Welch , que compara as médias de duas amostras independentes sem assumir que as populações das quais as amostras são extraídas têm variâncias iguais.

A fórmula para a aproximação de Satterthwaite é a seguinte:

 Degrees of freedom: (s 1 2 /n 1 + s 2 2 /n 2 ) 2 / {[(s 1 2 /n 1 ) 2 /(n 1 – 1)] + [(s 2 2 /n 2 ) 2 /(n 2 – 1)]}

Ouro:

• s ₁ ² , s ₂ ² : A variância amostral da primeira e segunda amostras, respectivamente.
• _n1 , _n2 : O tamanho da amostra da primeira e da segunda amostras, respectivamente.

O exemplo a seguir mostra como usar a aproximação de Satterthwaite para calcular os graus de liberdade efetivos.

Exemplo: Cálculo da aproximação de Satterthwaite

Suponha que queiramos saber se a altura média de duas espécies de plantas diferentes é igual. Então iremos coletar duas amostras aleatórias simples de cada espécie e medir a altura das plantas em cada amostra.

Os seguintes valores indicam a altura (em polegadas) de cada amostra:

Amostra 1: 14, 15, 15, 15, 16, 18, 22, 23, 24, 25, 25

Amostra 2: 10, 12, 14, 15, 18, 22, 24, 27, 31, 33, 34, 34, 34

As médias, variâncias e tamanhos de amostra são:

• x1 ₌ 19,27
• x2 ₌ 23,69
• s ₁ ² = 20,42
• s ₂ ² = 83,23
• n1 ₌ 11
• n2 = ₁₃

Em seguida, podemos inserir os valores das variâncias e tamanhos de amostra na fórmula de aproximação de Satterthwaite para encontrar os graus de liberdade efetivos:

 df = (s 1 2 /n 1 + s 2 2 /n 2 ) 2 / {[(s 1 2 /n 1 ) 2 /(n 1 – 1)] + [(s 2 2 /n 2 ) 2 / (n 2 – 1)]} 

df = (20.42/11 + 83.23/13) 2 /{[(20.42/11) 2 /(11 – 1)] + [(83.23/13) 2 /(13 – 1)]} = 18.137

Os graus de liberdade efetivos são 18.137 .

Normalmente, arredondamos esse valor para o número inteiro mais próximo, de modo que os graus de liberdade que usaríamos em nosso teste t de Welch seriam 18 .

Finalmente, encontraremos o valor crítico t na tabela de distribuição t que corresponde a um teste bicaudal com alfa = 0,05 para 18 graus de liberdade:

O valor crítico t é 2,101 .

Calcularíamos então nossa estatística de teste da seguinte forma:

Estatística de teste: ( x ₁ – x ₂ ) / (√ s ₁ ² /n ₁ + s ₂ ² /n ₂ )

Estatística de teste: (19,27 – 23,69) / (√ 20,42/11 + 83,23/13 ) = -4,42 / 2,873 = -1,538

Como o valor absoluto da nossa estatística de teste (1,538) não é maior que o valor crítico t, não conseguimos rejeitar a hipótese nula do teste.

Não há evidências suficientes para afirmar que as médias das duas populações sejam significativamente diferentes.

A aproximação de Satterthwaite na prática

Na prática, raramente será necessário calcular manualmente a aproximação de Satterthwaite.

Em vez disso, softwares estatísticos comuns como R, Python, Excel, SAS e Stata podem usar a aproximação de Satterthwaite para calcular automaticamente os graus de liberdade efetivos para você.

Recursos adicionais

Introdução ao teste de hipóteses
Uma introdução ao teste t de duas amostras
Uma introdução ao teste t de Welch