Aproximação binomial normal: definição e exemplo

Se X for uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial com n tentativas e p probabilidade de sucesso para uma determinada tentativa, então podemos calcular a média (μ ) e o desvio padrão (σ) de:

• μ = np
• σ = √np(1-p)

Acontece que se n for suficientemente grande, então podemos utilizar a distribuição normal para aproximar as probabilidades relacionadas com a distribuição binomial. Isso é chamado de aproximação binomial normal .

Para que n seja “grande o suficiente”, deve atender aos seguintes critérios:

• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5

Quando ambos os critérios são atendidos, podemos usar a distribuição normal para responder questões de probabilidade relacionadas à distribuição binomial.

No entanto, a distribuição normal é uma distribuição de probabilidade contínua, enquanto a distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade discreta, por isso precisamos aplicar a correção de continuidade ao calcular as probabilidades.

Simplificando, uma correção de continuidade é o nome dado à adição ou subtração de 0,5 de um valor discreto de x.

Por exemplo, digamos que queremos determinar a probabilidade de uma moeda cair com cara menor ou igual a 45 vezes ao longo de 100 lançamentos. Ou seja, queremos encontrar P(X ≤ 45). Para usar a distribuição normal para aproximar a distribuição binomial, encontraríamos P(X ≤ 45,5).

A tabela a seguir mostra quando você deve adicionar ou subtrair 0,5, dependendo do tipo de probabilidade que você está tentando encontrar:

O exemplo passo a passo a seguir mostra como usar a distribuição normal para aproximar a distribuição binomial.

Exemplo: aproximação normal do binômio

Suponha que queiramos saber a probabilidade de uma moeda cair com cara menor ou igual a 43 vezes em 100 lançamentos.

Nesta situação temos os seguintes valores:

• n (número de tentativas) = 100
• X (número de sucessos) = 43
• p (probabilidade de sucesso em uma determinada tentativa) = 0,50

Para calcular a probabilidade de a moeda cair em cara menor ou igual a 43 vezes, podemos usar os seguintes passos:

Passo 1: Verifique se o tamanho da amostra é grande o suficiente para usar a aproximação normal.

Em primeiro lugar, precisamos verificar se os seguintes critérios são atendidos:

• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5

Neste caso temos:

• np = 100*0,5 = 50
• n(1-p) = 100*(1 – 0,5) = 100*0,5 = 50

Ambos os números são maiores que 5, portanto podemos usar com segurança a aproximação normal.

Etapa 2: Determine a correção de continuidade a ser aplicada.

Referindo-nos à tabela acima, vemos que devemos somar 0,5 ao trabalhar com probabilidade na forma de X ≤ 43. Assim, encontraremos P(X< 43,5).

Etapa 3: Encontre a média (μ) e o desvio padrão (σ) da distribuição binomial.

µ = n*p = 100*0,5 = 50

σ = √ n*p*(1-p) = √ 100*0,5*(1-0,5) = √ 25 = 5

Passo 4: Encontre o escore z usando a média e o desvio padrão encontrados na etapa anterior.

z = (x – μ) / σ = (43,5 – 50) / 5 = -6,5 / 5 = -1,3.

Etapa 5: Encontre a probabilidade associada ao escore z.

Podemos usar a calculadora CDF normal para descobrir que a área sob a curva normal padrão à esquerda de -1,3 é 0,0968 .

Portanto, a probabilidade de uma moeda dar cara menor ou igual a 43 vezes em 100 lançamentos é 0,0968 .

Este exemplo ilustra o seguinte:

• Tivemos uma situação em que uma variável aleatória seguiu uma distribuição binomial.
• Queríamos determinar a probabilidade de obter um determinado valor para esta variável aleatória.
• Como o tamanho da amostra (n = 100 ensaios) foi grande o suficiente, pudemos usar a distribuição normal para aproximar a distribuição binomial.

Este é um exemplo completo de como usar a aproximação normal para encontrar probabilidades relacionadas à distribuição binomial.