Axiomas de probabilidade

By Dr. benjamim anderson Agosto 1, 2023 Uncategorized 0 Comments

Este artigo explica o que são os axiomas da probabilidade. Então você encontrará a definição axiomática de probabilidade, quais são os diferentes axiomas de probabilidade e um exemplo de sua aplicação.

Quais são os 3 axiomas de probabilidade?

Os axiomas de probabilidade são:

Axioma de Probabilidade 1 : A probabilidade de um evento não pode ser negativa.
Axioma de Probabilidade 2 : A probabilidade de um determinado evento é 1.
Axioma de Probabilidade 3 : A probabilidade de um conjunto de eventos exclusivos é igual à soma de todas as probabilidades.

Os três axiomas da probabilidade também são conhecidos como axiomas de Kolmogorov , porque foram formulados por este matemático russo em 1933.

Cada tipo de axioma de probabilidade é explicado com mais detalhes abaixo.

Axioma 1

O primeiro axioma da probabilidade diz que a probabilidade de ocorrência de um evento não pode ser negativa e, portanto, seu valor está entre 0 e 1.

$0\leq P(A)\leq 1$

Se a probabilidade de um evento for zero, significa que é impossível que ele aconteça. Por outro lado, se a probabilidade de um evento for 1, significa que esse evento certamente ocorrerá. Portanto, quanto maior o valor da probabilidade de um evento, maior será a probabilidade de ele ocorrer.

axioma 2

O segundo axioma da probabilidade afirma que a probabilidade de ocorrência de um determinado evento é igual a 1.

$P(\Omega)=1$

Um determinado evento é o resultado de uma experiência aleatória que sempre acontecerá. Portanto, um evento seguro também pode ser definido como o espaço amostral de um experimento aleatório.

➤ Veja: Evento seguro

Axioma 3

O terceiro axioma da probabilidade afirma que, dado um conjunto de eventos exclusivos, a probabilidade conjunta de todos os eventos é equivalente à soma de todas as probabilidades de ocorrência.

$A\cap B= \varnothing \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Dois ou mais eventos são exclusivos quando não podem ocorrer ao mesmo tempo. Portanto, para calcular a probabilidade conjunta, não é necessário levar em consideração a probabilidade de ocorrerem simultaneamente.

➤ Veja: Excluindo eventos

Exemplo de axiomas de probabilidade

A título de exemplo, analisaremos a seguir vários resultados do experimento de lançamento de um dado para que você possa ver que os axiomas de probabilidade são cumpridos.

Quando você lança um dado, existem seis resultados possíveis, que são os seguintes:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

Neste caso, todos os resultados são igualmente prováveis, portanto, para determinar a probabilidade de cada resultado ocorrer, precisamos simplesmente de determinar a probabilidade de um resultado. Portanto, aplicamos a fórmula da regra de Laplace para calcular a probabilidade de cada resultado possível:

$P(\text{cualquier n\'umero})=\cfrac{1}{6}=0,167$

Então, como a probabilidade de obter cada resultado é positiva, o primeiro axioma da probabilidade é satisfeito.

Agora vamos verificar o segundo axioma. Neste caso, um determinado evento “obtém um número de 1 a 6”, então somamos a probabilidade de obter cada resultado:

$\begin{array}{l}P(\text{n\'umero del 1 al 6})=\\[2ex]=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=\\[2ex]=0,167+0,167+0,167+0,167+0,167+0,167=\\[2ex]=1\end{array}$

Assim, a probabilidade de um determinado evento é igual a 1, portanto o segundo axioma da probabilidade também é cumprido.

Finalmente, resta apenas verificar o terceiro axioma da probabilidade. Os diferentes resultados que podemos obter ao lançar um dado são mutuamente exclusivos, pois, por exemplo, se lançarmos um 2, não poderemos mais obter um 5. Portanto, o cálculo para obter quaisquer dois números pode ser realizado de duas maneiras: usando Regra de Laplace ou adicionando a probabilidade de cada resultado.

$P(2 \text{ o } 5)=\cfrac{2}{6}=0,33$

$P(2 \text{ o } 5)=P(2)+P(5)=0,167+0,167=0,33$

Em ambos os casos obtemos o mesmo valor de probabilidade, portanto o terceiro axioma da probabilidade também é verdadeiro.

Propriedades deduzidas dos axiomas de probabilidade

Dos três axiomas de probabilidade, podemos deduzir as seguintes propriedades:

A probabilidade de um evento impossível é zero.

$P(\varnothing)=0$

A probabilidade de qualquer evento é igual ou menor que 1.

$P(A)\leq 1$

$0\leq P(A)\leq 1$

A probabilidade de um evento é igual a um menos a probabilidade do seu evento complementar .

$P(A)=1-P\left(\overline{A}\right)$

Se um evento estiver incluído em outro evento, a probabilidade do primeiro evento deve ser menor ou igual à probabilidade do segundo evento.

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

A probabilidade de união de dois eventos é a soma de suas probabilidades menos a probabilidade de sua intersecção.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Dado um conjunto de eventos incompatíveis dois por dois, sua probabilidade conjunta é calculada somando a probabilidade de ocorrência de cada evento.

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

Se o espaço amostral for finito e um evento for S={x ₁ ,x ₁ ,…,x _k }, a probabilidade de ocorrência do referido evento é equivalente à seguinte expressão:

$P(S)=P(x_1)+P(x_2)+\ldots+P(x_n)$

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Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais