Contraste de hipótese

By Dr. benjamim anderson Agosto 3, 2023 Estatisticas 0 Comments

Este artigo explica o que é teste de hipótese em estatística. Assim, você aprenderá como fazer um teste de hipóteses, os diferentes tipos de testes de hipóteses e os possíveis erros que podem ser cometidos na realização de um teste de hipóteses.

O que é teste de hipótese?

Um teste de hipótese é um procedimento usado para rejeitar ou rejeitar uma hipótese estatística. Num teste de hipótese, julgamos se o valor de um parâmetro populacional é compatível com o que é observado em uma amostra dessa população.

Ou seja, num teste de hipótese, analisa-se uma amostra estatística e, com base nos resultados obtidos, determina-se se se rejeita ou se aceita uma hipótese previamente estabelecida.

Tenha em mente que, em geral, a partir de testes de hipóteses, não se pode inferir com total certeza se uma hipótese é verdadeira ou falsa, mas que uma hipótese é simplesmente rejeitada ou não com base nos resultados obtidos. Assim, ao testar uma hipótese, ainda pode ser cometido um erro mesmo que haja evidência estatística de que a decisão tomada é a mais provável.

Em estatística, um teste de hipótese também é chamado de teste de hipótese , teste de hipótese ou teste de significância .

A teoria do teste de hipóteses foi estabelecida pelo estatístico inglês Ronald Fisher e desenvolvida por Jerzy Neyman e Egon Pearson.

Hipótese nula e hipótese alternativa

Um teste de hipótese é composto por dois tipos de hipóteses estatísticas:

Hipótese nula (H ₀ ) : é a hipótese que sustenta que a hipótese inicial que temos a respeito de um parâmetro populacional é falsa. A hipótese nula é, portanto, a hipótese que desejamos rejeitar.
Hipótese alternativa (H ₁ ) : é a hipótese de pesquisa cuja veracidade se supõe ser comprovada. Ou seja, a hipótese alternativa é uma hipótese anterior do pesquisador e para tentar comprovar que ela é verdadeira, será realizada a hipótese de contraste.

Na prática, a hipótese alternativa é formulada antes da hipótese nula, pois é a hipótese que se pretende corroborar pela análise estatística de uma amostra de dados. A hipótese nula é então formulada simplesmente contradizendo a hipótese alternativa.

Tipos de testes de hipóteses

Os testes de hipóteses podem ser classificados em dois tipos diferentes:

Teste de hipótese bicaudal (ou teste de hipótese bicaudal) : A hipótese alternativa de teste de hipótese afirma que o parâmetro populacional é “diferente” de um valor específico.
Teste de hipótese unilateral (ou teste de hipótese unilateral) : A hipótese alternativa de teste de hipótese indica que o parâmetro da população é “maior que” (cauda direita) ou “menor que” (cauda esquerda) um valor específico.

Teste de hipótese bicaudal

$\begin{cases}H_0: \mu=\mu_0\\[2ex]H_1:\mu\neq\mu_0\end{cases}$

Teste de hipótese unilateral (cauda direita)

$\begin{cases}H_0: \mu\leq \mu_0\\[2ex]H_1:\mu>\mu_0\end{cases}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”65″ width=”102″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> </div> <div class=$

Teste de hipótese unilateral (cauda esquerda)

$\begin{cases}H_0: \mu\geq\mu_0\\[2ex]H_1:\mu<\mu_0\end{cases}$

Região de rejeição e região de aceitação de um teste de hipótese

Como veremos detalhadamente a seguir, o teste de hipótese consiste em calcular um valor característico de cada tipo de teste de hipótese, esse valor é chamado de estatística de teste de hipótese. Assim, uma vez calculada a estatística de contraste, é necessário observar em qual das duas regiões a seguir ela está localizada para se chegar a uma conclusão:

Região de rejeição (ou região crítica) : Esta é a área do gráfico da distribuição de referência do teste de hipótese que envolve a rejeição da hipótese nula (e a aceitação da hipótese alternativa).
Região de aceitação : É a área do gráfico da distribuição de referência do teste de hipótese que implica aceitação da hipótese nula (e rejeição da hipótese alternativa).

Resumindo, se a estatística de teste estiver dentro da zona de rejeição, a hipótese nula é rejeitada e a hipótese alternativa é aceita. Pelo contrário, se a estatística de teste estiver dentro da região de aceitação, a hipótese nula é aceita e a hipótese alternativa é rejeitada.

Os valores que estabelecem os limites da região de rejeição e da região de aceitação são chamados de valores críticos , da mesma forma, o intervalo de valores que define a região de rejeição é chamado de intervalo de confiança . E ambos os valores dependem do nível de significância escolhido.

➤ Veja: Nível de Significância Alfa

Por outro lado, a decisão de rejeitar ou aceitar a hipótese nula também pode ser tomada comparando o valor-p (ou valor-p) obtido no teste de hipótese com o nível de significância escolhido.

➤ Veja: Qual é o valor p?

Como fazer um teste de hipótese

Para realizar um teste de hipótese, as seguintes etapas devem ser seguidas:

Indique a hipótese nula e a hipótese alternativa do teste de hipótese.
Estabeleça o nível de significância alfa (α) desejado.
Calcule a estatística de contraste da hipótese.
Determina os valores críticos do teste de hipótese para conhecer a região de rejeição e região de aceitação do teste de hipótese.
Observe se a estatística de contraste da hipótese está na região de rejeição ou na região de aceitação.
Se a estatística estiver dentro da região de rejeição, a hipótese nula é rejeitada (e a hipótese alternativa é aceita). Mas se a estatística estiver dentro da zona de aceitação, a hipótese nula é aceita (e a hipótese alternativa é rejeitada).

➤ Veja: Teste de hipótese para a média
➤ Veja: Teste de hipótese para proporção
➤ Veja: Teste de hipóteses para variância

Erros de teste de hipóteses

No teste de hipóteses, ao rejeitar uma hipótese e aceitar a outra hipótese de teste, um de dois erros pode ser cometido:

Erro tipo I : Este é o erro cometido ao rejeitar a hipótese nula quando ela é realmente verdadeira.
Erro tipo II : Este é o erro cometido ao aceitar a hipótese nula quando ela é na verdade falsa.

Por outro lado, a probabilidade de cometer cada tipo de erro é chamada da seguinte forma:

Probabilidade alfa (α) : é a probabilidade de cometer o erro tipo I.
Probabilidade beta (β) : é a probabilidade de cometer o erro tipo II.

Da mesma forma, o poder do teste de hipóteses é definido como a probabilidade de rejeitar a hipótese nula (H ₀ ) quando esta for falsa, ou em outras palavras, é a probabilidade de escolher a hipótese alternativa (H ₁ ) quando esta for verdadeira. O poder do teste de hipótese é, portanto, igual a 1-β.

Estatísticas de testes de hipóteses

A estatística de um teste de hipótese é o valor da distribuição de referência do teste de hipótese que é usada para determinar se a hipótese nula é rejeitada ou não. Se a estatística de teste cair na região de rejeição, a hipótese nula é rejeitada (e a hipótese alternativa é aceita), por outro lado, se a estatística de teste cair na região de aceitação, a hipótese nula é aceita (e a hipótese alternativa é rejeitado).hipótese alternativa).

O cálculo da estatística do teste de hipótese depende do tipo de teste. Portanto, a fórmula de cálculo da estatística para cada tipo de teste de hipótese é mostrada a seguir.

Teste de hipótese para a média

A fórmula para a estatística do teste de hipótese para a média com variância conhecida é:

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Ouro:

$Z$

é a estatística de contraste de hipótese para a média.
$\overline{x}$

é a média da amostra.
$\mu$

é o valor médio proposto.
$\sigma$

é o desvio padrão da população.
$n$

é o tamanho da amostra.

Uma vez calculada a estatística do teste de hipótese para a média, o resultado deve ser interpretado para rejeitar ou não a hipótese nula:

Se o teste de hipótese para a média for bilateral, a hipótese nula é rejeitada se o valor absoluto da estatística for maior que o valor crítico Z _α/2 .
Se o teste de hipótese para a média corresponder à cauda direita, a hipótese nula será rejeitada se a estatística for maior que o valor crítico Z _α .
Se o teste de hipótese para a média corresponder à cauda esquerda, a hipótese nula será rejeitada se a estatística for menor que o valor crítico -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Neste caso, os valores críticos são obtidos na tabela de distribuição normal padronizada.

Por outro lado, a fórmula para a estatística do teste de hipótese para a média com variância desconhecida é:

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

Ouro:

$t$

é a estatística do teste de hipótese para a média, que é definida pela distribuição t de Student.
$\overline{x}$

é a média amostral.
$\mu$

é o valor médio proposto.
$s$

é o desvio padrão da amostra.
$n$

é o tamanho da amostra.

Como antes, o resultado calculado da estatística de teste deve ser interpretado com o valor crítico para rejeitar ou não a hipótese nula:

Se o teste de hipótese para a média for bilateral, a hipótese nula é rejeitada se o valor absoluto da estatística for maior que o valor crítico t _α/2|n-1 .
Se o teste de hipótese para a média corresponder à cauda direita, a hipótese nula será rejeitada se a estatística for maior que o valor crítico t _α|n-1 .
Se o teste de hipótese para a média corresponder à cauda esquerda, a hipótese nula será rejeitada se a estatística for menor que o valor crítico -t _α|n-1 .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Quando a variância é desconhecida, os valores críticos do teste são obtidos na tabela de distribuição de Student.

Teste de hipótese para proporção

A fórmula para a estatística de teste de hipótese para proporção é:

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

Ouro:

$Z$

é a estatística do teste de hipótese para a proporção.
$\widehat{p}$

é a proporção da amostra.
$p$

é o valor da proporção proposta.
$n$

é o tamanho da amostra.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

é o desvio padrão da proporção.

Tenha em mente que não basta calcular a estatística do teste de hipótese para a proporção, mas o resultado deve então ser interpretado:

Se o teste de hipótese para a proporção for bilateral, a hipótese nula é rejeitada se o valor absoluto da estatística for maior que o valor crítico Z _α/2 .
Se o teste de hipótese para a proporção corresponder à cauda direita, a hipótese nula é rejeitada se a estatística for maior que o valor crítico Z _α .
Se o teste de hipótese para a proporção corresponder à cauda esquerda, a hipótese nula é rejeitada se a estatística for menor que o valor crítico -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Lembre-se de que os valores críticos podem ser facilmente obtidos na tabela de distribuição normal padrão.

Teste de hipótese para variância

A fórmula para calcular a estatística do teste de hipótese para variância é:

$\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

Ouro:

$\chi^2$

é a estatística de teste de hipótese para variância, que tem uma distribuição qui-quadrado.
$n$

é o tamanho da amostra.
$s^2$

é a variância da amostra.
$\sigma^2$

é a variância da população proposta.

Para interpretar o resultado da estatística, o valor obtido deve ser comparado com o valor crítico do teste.

Se o teste de hipótese de variância for bicaudal, a hipótese nula será rejeitada se a estatística for maior que o valor crítico.
$\chi_{1-\alpha/2|n-1}^2$

ou se o valor crítico for menor que

$\chi_{\alpha/2|n-1}$

.
Se o teste de hipótese para a variância corresponder à cauda direita, a hipótese nula será rejeitada se a estatística for maior que o valor crítico
$\chi_{1-\alpha|n-1}^2$

.
Se o teste de hipótese para variância corresponder à cauda esquerda, a hipótese nula será rejeitada se a estatística for menor que o valor crítico
$\chi_{\alpha|n-1}$

.

$\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Os valores críticos do teste de hipótese para variância são obtidos na tabela de distribuição qui-quadrado. Observe que os graus de liberdade para a distribuição qui-quadrado são o tamanho da amostra menos 1.

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Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais

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