Distribuição bernoulli

Este artigo explica o que é a distribuição de Bernoulli e qual é sua fórmula. Além disso, você encontrará as propriedades da distribuição de Bernoulli e um exercício resolvido para entender melhor seu significado.

Qual é a distribuição de Bernoulli?

A distribuição de Bernoulli , também conhecida como distribuição dicotômica , é uma distribuição de probabilidade que representa uma variável discreta que só pode ter dois resultados: “sucesso” ou “fracasso”.

Na distribuição de Bernoulli, “sucesso” é o resultado que esperamos e tem o valor 1, enquanto o resultado de “fracasso” é um resultado diferente do esperado e tem o valor 0. Portanto, se a probabilidade do resultado de “ sucesso” é p , a probabilidade do resultado de “fracasso” é q=1-p .

A distribuição de Bernoulli recebeu o nome do estatístico suíço Jacob Bernoulli.

Em estatística, a distribuição de Bernoulli tem principalmente uma aplicação: definir as probabilidades de experiências nas quais existem apenas dois resultados possíveis: sucesso e fracasso. Portanto, um experimento que usa a distribuição de Bernoulli é chamado de teste de Bernoulli ou experimento de Bernoulli.

Fórmula de distribuição de Bernoulli

Se p for a probabilidade de ocorrência do resultado de “sucesso”, a probabilidade da distribuição de Bernoulli é igual a p elevado a x multiplicado por 1-p elevado a 1-x . Assim , as probabilidades da distribuição de Bernoulli podem ser calculadas utilizando a seguinte fórmula :

Observe que em uma distribuição de Bernoulli, o valor de x só pode ser 0 (fracasso) ou 1 (sucesso).

Por outro lado, a fórmula anterior também pode ser escrita utilizando a seguinte expressão equivalente:

Exemplo de distribuição de Bernoulli

Agora que sabemos a definição da distribuição de Bernoulli e qual é a sua fórmula, vamos ver um exemplo concreto da distribuição de Bernoulli.

• Para ganhar um jogo, o jogador deve lançar um dado e obter um 2, caso contrário outro jogador vencerá o jogo e, portanto, o jogo será perdido. Calcule a probabilidade de sucesso e fracasso.

Um dado tem seis resultados possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6), então, neste caso, o espaço amostral do experimento é:

No nosso caso, o único caso de sucesso é obter o número dois, portanto a probabilidade de sucesso ao aplicar a regra de Laplace é igual a um dividido pelo número total de resultados possíveis (6):

Por outro lado, se aparecer outro número ao lançar o dado, o resultado do experimento será considerado um fracasso, pois o jogador perderá o jogo. Assim, esta probabilidade é equivalente a um menos a probabilidade calculada anteriormente:

Resumindo, a distribuição de Bernoulli deste experimento é definida pela seguinte expressão:

Como você pode ver abaixo, as probabilidades da distribuição de Bernoulli também podem ser encontradas aplicando a fórmula vista acima:

Características da distribuição Bernoulli

Abaixo estão as características mais importantes da distribuição Bernoulli.

• A distribuição de Bernoulli só pode assumir o valor 1 (sucesso) ou 0 (fracasso).

• A média da distribuição de Bernoulli é equivalente à probabilidade de ocorrência do resultado “sucesso”.

• A variância de uma distribuição de Bernoulli pode ser calculada multiplicando as probabilidades de ocorrência do resultado “sucesso” e “fracasso”. Ou, de forma equivalente, a variância é p vezes 1-p .

• O valor da moda de uma distribuição de Bernoulli depende das probabilidades de “sucesso” e “fracasso”. Assim, a moda deste tipo de distribuição é definida pela seguinte expressão:

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\displaystyle Mo=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } q>p\\[2ex]0 \ ;1 & \text{si } q=p\\[2ex] 1 & \text{si } q<ul><li> The formula for the probability function of a Bernoulli distribution is as follows:</li></ul>[latex] \displaystyle P[X=x]= \left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.

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• Por outro lado, a função de probabilidade cumulativa da distribuição de Bernoulli é definida pela seguinte expressão:

• O coeficiente de assimetria de uma distribuição de Bernoulli é calculado com a seguinte expressão:

• Da mesma forma, a curtose de uma distribuição de Bernoulli depende do valor do parâmetro p e pode ser encontrada aplicando a seguinte fórmula:

Distribuição de Bernoulli e distribuição binomial

Nesta seção, veremos a diferença entre a distribuição de Bernoulli e a distribuição binomial, pois são dois tipos de distribuições de probabilidade relacionadas.

A distribuição binomial conta o número de resultados “bem-sucedidos” obtidos em um conjunto de testes de Bernoulli. Estas experiências de Bernoulli devem ser independentes, mas devem ter a mesma probabilidade de sucesso.

Portanto, a distribuição binomial é a soma de um conjunto de variáveis que segue uma distribuição de Bernoulli , todas definidas pelo mesmo parâmetro p .

Portanto, na distribuição de Bernoulli existe apenas um experimento de Bernoulli, enquanto na distribuição binomial existe uma sequência de experimentos de Bernoulli.