Distribuição binomial negativa

By Dr. benjamim anderson Agosto 3, 2023 Probabilidade 0 Comments

Este artigo explica o que é a distribuição binomial negativa e para que ela é usada. Você também encontrará a fórmula da distribuição binomial negativa, um exemplo concreto e as propriedades deste tipo de distribuição de probabilidade. Finalmente, você poderá calcular qualquer probabilidade de distribuição binomial negativa com uma calculadora online.

Qual é a distribuição binomial negativa?

A distribuição binomial negativa é uma distribuição de probabilidade que descreve o número de tentativas de Bernoulli necessárias para obter um determinado número de resultados positivos.

Portanto, uma distribuição binomial negativa tem dois parâmetros característicos: r é o número de resultados desejados e p é a probabilidade de sucesso para cada experimento de Bernoulli realizado.

$X\sim \text{BN}(r,p)$

Lembre-se de que um teste de Bernoulli é um experimento que tem dois resultados possíveis: “sucesso” e “fracasso”. Portanto, se a probabilidade de “sucesso” for p , a probabilidade de “fracasso” é q=1-p .

Assim, uma distribuição binomial negativa define um processo no qual são realizadas quantas tentativas de Bernoulli forem necessárias para obter resultados positivos. Além disso, todos estes ensaios de Bernoulli são independentes e têm uma probabilidade constante de sucesso .

Por exemplo, uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial negativa é o número de vezes que um dado deve ser lançado até que o número 6 seja lançado três vezes.

A diferença entre uma distribuição binomial negativa e uma distribuição binomial é que a distribuição binomial negativa conta o número de vezes que leva para obter um certo número de resultados bem-sucedidos, enquanto a distribuição binomial conta o número de casos bem-sucedidos em uma série de testes de Bernoulli.

➤ Veja: Qual é a distribuição binomial?

Fórmula de distribuição binomial negativa

Dados os parâmetros r, p, x, a probabilidade de uma distribuição binomial negativa é calculada multiplicando o número combinatório de x-1 em xr por (1-p) ^xr por p ^r .

Portanto, a fórmula para calcular uma probabilidade de distribuição binomial negativa é:

Fórmula de distribuição binomial negativa

👉 Você pode usar a calculadora abaixo para calcular a probabilidade de uma variável que segue a distribuição binomial negativa.

Exercício resolvido da distribuição binomial negativa

Qual é a probabilidade de que, se você lançar uma moeda oito vezes, ela dê cara pela quarta vez no oitavo lançamento?

Primeiro, precisamos calcular a probabilidade de obter cara no lançamento de uma moeda. Neste caso, temos apenas um resultado positivo (cara) entre dois resultados possíveis (cara e coroa), então a probabilidade de sucesso é:

$p=\cfrac{1}{2}=0,5$

Assim, a variável aleatória neste problema segue uma distribuição binomial negativa onde r=4 ep=0,5. Portanto, usamos a fórmula da distribuição binomial negativa para calcular a probabilidade que o exercício nos pede para fazer.

$\begin{aligned}P[X=x]&=\begin{pmatrix}x-1\\ x-r\end{pmatrix}\cdot (1-p)^{x-r}\cdot p^r\\[2ex]\displaystyle P[X=8]&=\begin{pmatrix}8-1\\ 8-4\end{pmatrix}\cdot (1-0,5)^{8-4}\cdot 0,5^4\\[2ex] P[X=8]&=0,1367\end{aligned}$

Características da distribuição binomial negativa

Abaixo estão as características mais importantes da distribuição binomial negativa.

A distribuição binomial negativa é definida por dois parâmetros característicos: r é o número de resultados desejados com sucesso e p é a probabilidade de sucesso para cada experimento de Bernoulli realizado.

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{array}{c}r\in \mathbb{Z}^+ \\[2ex] 0 <ul><li> The mean of the negative binomial distribution is equal to <em>r</em> multiplied by <em>(1-p)</em> and divided by <em>p</em> . Thus the formula which makes it possible to calculate the mean of a negative binomial distribution is the following: </li></ul>[latex]E[X]=\cfrac{r\cdot (1-p)}{p}

*** Error message:
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leading text: \begin{array}{c}
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leading text: ...The mean of the binomial distribution born
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leading text: ... the negative binomial distribution is
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leading text: ...negative binomial distribution is equal to
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...gative is equal to <em>r</em> multiplied
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...m> multiplied by <em>(1-p)</em> and divided
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...the mean of a binomial distribution born
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.

A variância de uma distribuição binomial negativa é igual a r multiplicado por (1-p) dividido por p ² .

$Var(X)=\cfrac{r\cdot (1-p)}{p^2}$

Se o parâmetro r for maior que 1, a moda de uma distribuição binomial negativa pode ser calculada com a seguinte fórmula:

$\displaystyle \lfloor \frac{(r-1)(1-p)}{p}\rfloor\quad \text{para }r>1″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”42″ width=”221″ style=”vertical-align: -16px;”></p> </p> <ul> <li> A função de massa que permite determinar a probabilidade de uma distribuição binomial negativa é a seguinte:</li> </ul> <p class=$ $P[X=x]=\begin{pmatrix}x-1\\ x-r\end{pmatrix}\cdot (1-p)^{x-r}\cdot p^r$

O coeficiente de assimetria de uma distribuição binomial negativa é calculado com a seguinte expressão:

$\displaystyle A=\frac{2-p}{\sqrt{r\,(1-p)}}$

A curtose de uma distribuição binomial negativa pode ser encontrada com a seguinte fórmula:

$\displaystyle C=\frac{6}{r} + \frac{p^2}{r\,(1-p)}$

Se o parâmetro r for igual a 1, então temos um caso de distribuição geométrica .

$r=1 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad X\sim \text{Geometrica}(p)$

Calculadora de distribuição binomial negativa

Insira os valores dos parâmetros r, p, x na calculadora a seguir para calcular a probabilidade. Você deve inserir números usando o ponto como separador decimal, por exemplo 0,50.

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Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais