Distribuição de probabilidade

By Dr. benjamim anderson Agosto 3, 2023 Probabilidade 0 Comments

Este artigo explica o que são distribuições de probabilidade nas estatísticas. Assim, você encontrará a definição de distribuição de probabilidade, exemplos de distribuições de probabilidade e os diferentes tipos de distribuições de probabilidade.

O que é uma distribuição de probabilidade?

Uma distribuição de probabilidade é uma função que define a probabilidade de ocorrência de cada valor de uma variável aleatória . Simplificando, uma distribuição de probabilidade é uma função matemática que descreve as probabilidades de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

Por exemplo, deixe

Portanto, as distribuições de probabilidade são frequentemente utilizadas na teoria das probabilidades e na estatística, pois são utilizadas para calcular as probabilidades de diferentes eventos em um espaço amostral .

Tipos de distribuições de probabilidade

As distribuições de probabilidade podem ser divididas em dois grandes tipos: distribuições discretas e distribuições contínuas.

Distribuição de probabilidade discreta: A distribuição só pode assumir um número contável de valores em um intervalo. Normalmente, distribuições de probabilidade discretas só podem assumir valores inteiros, ou seja, não possuem casas decimais.
Distribuição de probabilidade contínua: A distribuição pode assumir um número infinito de valores em um intervalo. Em geral, as distribuições de probabilidade contínuas podem assumir valores decimais.

Distribuições de probabilidade discretas

Uma distribuição de probabilidade discreta é a distribuição que define as probabilidades de uma variável aleatória discreta. Portanto, uma distribuição de probabilidade discreta só pode assumir um número finito de valores (geralmente valores inteiros).

Distribuição uniforme discreta

Distribuição uniforme discreta é uma distribuição de probabilidade discreta em que todos os valores são equiprováveis, ou seja, em uma distribuição uniforme discreta, todos os valores têm a mesma probabilidade de ocorrer.

Por exemplo, o lançamento de um dado pode ser definido com uma distribuição discreta e uniforme, uma vez que todos os resultados possíveis (1, 2, 3, 4, 5 ou 6) têm a mesma probabilidade de ocorrência.

Em geral, uma distribuição discreta uniforme possui dois parâmetros característicos, a e b , que definem a faixa de valores possíveis que a distribuição pode assumir. Assim, quando uma variável é definida por uma distribuição uniforme discreta, ela é escrita Uniform(a,b) .

$X\sim \text{Uniforme}(a,b)$

A distribuição uniforme discreta pode ser usada para descrever experimentos aleatórios porque se todos os resultados tiverem a mesma probabilidade, isso significa que o experimento é aleatório.

➤ Saiba mais: Distribuição uniforme discreta

Distribuição Bernoulli

A distribuição de Bernoulli , também conhecida como distribuição dicotômica , é uma distribuição de probabilidade que representa uma variável discreta que só pode ter dois resultados: “sucesso” ou “fracasso”.

Na distribuição de Bernoulli, “sucesso” é o resultado que esperamos e tem o valor 1, enquanto o resultado de “fracasso” é um resultado diferente do esperado e tem o valor 0. Portanto, se a probabilidade do resultado de “ sucesso” é p , a probabilidade do resultado de “fracasso” é q=1-p .

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

A distribuição de Bernoulli recebeu o nome do estatístico suíço Jacob Bernoulli.

Em estatística, a distribuição de Bernoulli tem principalmente uma aplicação: definir as probabilidades de experiências nas quais existem apenas dois resultados possíveis: sucesso e fracasso. Portanto, um experimento que usa a distribuição de Bernoulli é chamado de teste de Bernoulli ou experimento de Bernoulli.

➤ Para saber mais: distribuição Bernoulli

Distribuição binomial

A distribuição binomial , também chamada de distribuição binomial , é uma distribuição de probabilidade que conta o número de sucessos ao realizar uma série de experimentos independentes e dicotômicos com probabilidade constante de sucesso. Em outras palavras, a distribuição binomial é uma distribuição que descreve o número de resultados bem-sucedidos de uma sequência de tentativas de Bernoulli.

Por exemplo, o número de vezes que “cara” aparece ao lançar uma moeda 25 vezes é uma distribuição binomial.

Em geral, o número total de experimentos realizados é definido com o parâmetro n , enquanto p é a probabilidade de sucesso de cada experimento. Assim, uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial é escrita da seguinte forma:

$X\sim\text{Bin}(n,p)$

Observe que em uma distribuição binomial, exatamente o mesmo experimento é repetido n vezes e os experimentos são independentes um do outro, portanto a probabilidade de sucesso de cada experimento é a mesma (p) .

➤ Saiba mais: Distribuição binomial

Distribuição de peixes

A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade que define a probabilidade de um determinado número de eventos ocorrer durante um período de tempo. Em outras palavras, a distribuição de Poisson é usada para modelar variáveis aleatórias que descrevem o número de vezes que um fenômeno se repete em um intervalo de tempo.

Por exemplo, o número de chamadas que uma central telefônica recebe por minuto é uma variável aleatória discreta que pode ser definida usando a distribuição de Poisson.

A distribuição de Poisson possui um parâmetro característico, representado pela letra grega λ e indica o número de vezes que se espera que o evento estudado ocorra durante um determinado intervalo.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

➤ Para saber mais: Distribuição de Peixe

distribuição multinomial

A distribuição multinomial (ou distribuição multinomial ) é uma distribuição de probabilidade que descreve a probabilidade de vários eventos mutuamente exclusivos ocorrerem um determinado número de vezes após várias tentativas.

Ou seja, se um experimento aleatório pode resultar em três ou mais eventos exclusivos e a probabilidade de cada evento ocorrer separadamente é conhecida, a distribuição multinomial é usada para calcular a probabilidade de que, quando vários experimentos são realizados, um certo número de eventos ocorra. vez, todas as vezes.

A distribuição multinomial é, portanto, uma generalização da distribuição binomial.

➤ Saiba mais: Distribuição multinomial

distribuição geométrica

A distribuição geométrica é uma distribuição de probabilidade que define o número de tentativas de Bernoulli necessárias para obter o primeiro resultado bem-sucedido. Ou seja, uma distribuição geométrica modela processos nos quais os experimentos de Bernoulli são repetidos até que um deles obtenha resultado positivo.

Por exemplo, o número de carros que passam em uma rodovia até verem um carro amarelo é uma distribuição geométrica.

Lembre-se de que um teste de Bernoulli é um experimento que tem dois resultados possíveis: “sucesso” e “fracasso”. Portanto, se a probabilidade de “sucesso” for p , a probabilidade de “fracasso” é q=1-p .

A distribuição geométrica depende portanto do parâmetro p , que é a probabilidade de sucesso de todos os experimentos realizados. Além disso, a probabilidade p é a mesma para todos os experimentos.

$X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

➤ Saiba mais: Distribuição geométrica

distribuição binomial negativa

A distribuição binomial negativa é uma distribuição de probabilidade que descreve o número de tentativas de Bernoulli necessárias para obter um determinado número de resultados positivos.

Portanto, uma distribuição binomial negativa tem dois parâmetros característicos: r é o número de resultados desejados e p é a probabilidade de sucesso para cada experimento de Bernoulli realizado.

$X\sim \text{BN}(r,p)$

Assim, uma distribuição binomial negativa define um processo no qual são realizadas quantas tentativas de Bernoulli forem necessárias para obter resultados positivos. Além disso, todos estes ensaios de Bernoulli são independentes e têm uma probabilidade constante de sucesso .

Por exemplo, uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial negativa é o número de vezes que um dado deve ser lançado até que o número 6 seja lançado três vezes.

➤ Saiba mais: Distribuição binomial negativa

distribuição hipergeométrica

A distribuição hipergeométrica é uma distribuição de probabilidade que descreve o número de casos de sucesso em uma extração aleatória sem substituição de n elementos de uma população.

Ou seja, a distribuição hipergeométrica é utilizada para calcular a probabilidade de obter x sucessos ao extrair n elementos de uma população sem substituir nenhum deles.

Portanto, a distribuição hipergeométrica possui três parâmetros:

N : é o número de elementos da população (N = 0, 1, 2,…).
K : é o número máximo de casos de sucesso (K = 0, 1, 2,…,N). Como em uma distribuição hipergeométrica um elemento só pode ser considerado um “sucesso” ou um “fracasso”, NK é o número máximo de casos de falha.
n : é o número de buscas sem substituição executadas.

$X \sim HG(N,K,n)$

➤ Para saber mais: Distribuição hipergeométrica

Distribuições de probabilidade contínuas

Uma distribuição de probabilidade contínua é aquela que pode assumir qualquer valor em um intervalo, incluindo valores decimais. Portanto, uma distribuição de probabilidade contínua define as probabilidades de uma variável aleatória contínua.

distribuição uniforme e contínua

A distribuição uniforme contínua , também chamada de distribuição retangular , é um tipo de distribuição de probabilidade contínua em que todos os valores têm a mesma probabilidade de aparecer. Em outras palavras, a distribuição uniforme contínua é uma distribuição em que a probabilidade é distribuída uniformemente ao longo de um intervalo.

A distribuição uniforme contínua é usada para descrever variáveis contínuas que têm probabilidade constante. Da mesma forma, a distribuição uniforme contínua é usada para definir processos aleatórios, porque se todos os resultados tiverem a mesma probabilidade, significa que há aleatoriedade no resultado.

A distribuição uniforme contínua possui dois parâmetros característicos, aeb , que definem o intervalo de equiprobabilidade. Assim, o símbolo para a distribuição uniforme contínua é U(a,b) , onde a e b são os valores característicos da distribuição.

$X\sim U(a,b)$

Por exemplo, se o resultado de um experimento aleatório pode assumir qualquer valor entre 5 e 9 e todos os resultados possíveis têm a mesma probabilidade de ocorrer, o experimento pode ser simulado com uma distribuição uniforme contínua U(5.9).

➤ Saiba mais: Distribuição uniforme contínua

Distribuição normal

A distribuição normal é uma distribuição de probabilidade contínua cujo gráfico tem forma de sino e é simétrico em relação à sua média. Nas estatísticas, a distribuição normal é utilizada para modelar fenômenos com características muito diferentes, por isso essa distribuição é tão importante.

Na verdade, em estatística, a distribuição normal é considerada de longe a distribuição mais importante de todas as distribuições de probabilidade, porque não só pode modelar um grande número de fenómenos do mundo real, mas a distribuição normal também pode ser usada para aproximar outros tipos de fenómenos. distribuições. sob certas condições.

O símbolo da distribuição normal é a letra N maiúscula. Assim, para indicar que uma variável segue uma distribuição normal, ela é indicada pela letra N e os valores de sua média aritmética e desvio padrão são somados entre parênteses.

$X\sim N(\mu,\sigma)$

A distribuição normal tem muitos nomes diferentes, incluindo distribuição Gaussiana , distribuição Gaussiana e distribuição Laplace-Gauss .

➤ Saiba mais: Distribuição normal

Distribuição lognormal

A distribuição lognormal , ou distribuição lognormal , é uma distribuição de probabilidade que define uma variável aleatória cujo logaritmo segue uma distribuição normal.

Portanto, se a variável X tem distribuição normal, então a função exponencial e ^x tem distribuição lognormal.

$X\sim \text{Lognormal}(\mu,\sigma^2)$

Observe que a distribuição lognormal só pode ser utilizada quando os valores da variável são positivos, pois o logaritmo é uma função que aceita apenas um argumento positivo.

Entre as diferentes aplicações da distribuição lognormal em estatística, destacamos a utilização desta distribuição para analisar investimentos financeiros e realizar análises de confiabilidade.

A distribuição lognormal também é conhecida como distribuição Tinaut , às vezes também escrita como distribuição lognormal ou distribuição log-normal .

➤ Saiba mais: Distribuição lognormal

Distribuição qui-quadrado

A distribuição Qui-quadrado é uma distribuição de probabilidade cujo símbolo é χ². Mais precisamente, a distribuição qui-quadrado é a soma do quadrado de k variáveis aleatórias independentes com distribuição normal.

Assim, a distribuição Qui-quadrado possui k graus de liberdade. Portanto, uma distribuição Qui-quadrado tem tantos graus de liberdade quanto a soma dos quadrados das variáveis normalmente distribuídas que ela representa.

$\displaystyle X\sim\chi^2_k \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \begin{array}{l}\text{Distribuci\'on chi-cuadrado}\\[2ex]\text{con k grados de libertad}\end{array}$

A distribuição qui-quadrado também é conhecida como distribuição de Pearson .

A distribuição qui-quadrado é amplamente utilizada em inferência estatística, por exemplo, em testes de hipóteses e intervalos de confiança. Veremos a seguir quais são as aplicações desse tipo de distribuição de probabilidade.

➤ Para saber mais: Distribuição qui-quadrado

Distribuição t de estudante

A distribuição t de Student é uma distribuição de probabilidade amplamente utilizada em estatística. Especificamente, a distribuição t de Student é utilizada no teste t de Student para determinar a diferença entre as médias de duas amostras e estabelecer intervalos de confiança.

A distribuição t de Student foi desenvolvida pelo estatístico William Sealy Gosset em 1908 sob o pseudônimo de “Student”.

A distribuição t de Student é definida pelo seu número de graus de liberdade, obtido subtraindo uma unidade do número total de observações. Portanto, a fórmula para determinar os graus de liberdade de uma distribuição t de Student é ν=n-1 .

$\begin{array}{c}\nu=n-1\\[2ex]X\sim t_\nu\end{array}$

➤ Para saber mais: Distribuição dos alunos

Snedecor F Distribuição

A distribuição F de Snedecor , também chamada de distribuição F de Fisher-Snedecor ou simplesmente distribuição F , é uma distribuição de probabilidade contínua usada em inferência estatística, particularmente em análise de variância.

Uma das propriedades da distribuição Snedecor F é que ela é definida pelo valor de dois parâmetros reais, m e n , que indicam seus graus de liberdade. Assim, o símbolo para a distribuição Snedecor F é F _m,n , onde m e n são os parâmetros que definem a distribuição.

$F_{m,n}\qquad m,n>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”18″ width=”139″ style=”vertical-align: -6px;”> Matematicamente, a distribuição Snedecor F é igual ao quociente entre uma distribuição qui-quadrado e seus graus de liberdade dividido pelo quociente entre outra distribuição qui-quadrado e seus graus de liberdade. Assim, a fórmula que define a distribuição Snedecor F é a seguinte: <p class=$ $\left.\begin{array}{c} X\sim \chi_m^2\\[2ex] Y\sim \chi_n^2\end{array}\right\}\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ F_{m,n}= \cfrac{X/m}{Y/n}$

A distribuição Fisher-Snedecor F deve seu nome ao estatístico inglês Ronald Fisher e ao estatístico americano George Snedecor.

Em estatística, a distribuição Fisher-Snedecor F tem diferentes aplicações. Por exemplo, a distribuição Fisher-Snedecor F é usada para comparar diferentes modelos de regressão linear, e esta distribuição de probabilidade é usada na análise de variância (ANOVA).

➤ Para saber mais: Distribuição Snedecor F

distribuição exponencial

A distribuição exponencial é uma distribuição de probabilidade contínua usada para modelar o tempo de espera para a ocorrência de um fenômeno aleatório.

Mais precisamente, a distribuição exponencial permite descrever o tempo de espera entre dois fenómenos que segue uma distribuição de Poisson. Portanto, a distribuição exponencial está intimamente relacionada com a distribuição de Poisson.

A distribuição exponencial possui um parâmetro característico, representado pela letra grega λ e indica o número de vezes que se espera que o evento estudado ocorra durante um determinado período de tempo.

$X\sim \text{Exp}(\lambda)$

Da mesma forma, a distribuição exponencial também é usada para modelar o tempo até que ocorra uma falha. A distribuição exponencial, portanto, tem diversas aplicações na teoria da confiabilidade e da sobrevivência.

➤ Saiba mais: Distribuição exponencial

Distribuição Beta

A distribuição beta é uma distribuição de probabilidade definida no intervalo (0,1) e parametrizada por dois parâmetros positivos: α e β. Em outras palavras, os valores da distribuição beta dependem dos parâmetros α e β.

Portanto, a distribuição beta é utilizada para definir variáveis aleatórias contínuas cujo valor está entre 0 e 1.

Existem diversas notações para indicar que uma variável aleatória contínua é governada por uma distribuição beta, as mais comuns são:

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim Beta(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim \beta_{\alpha,\beta}\end{array}$

Nas estatísticas, a distribuição beta tem aplicações muito variadas. Por exemplo, a distribuição beta é usada para estudar variações de porcentagens em diferentes amostras. Da mesma forma, no gerenciamento de projetos, a distribuição beta é usada para realizar análises Pert.

➤ Saiba mais: Distribuição Beta

Distribuição gama

A distribuição gama é uma distribuição de probabilidade contínua definida por dois parâmetros característicos, α e λ. Em outras palavras, a distribuição gama depende do valor de seus dois parâmetros: α é o parâmetro de forma e λ é o parâmetro de escala.

O símbolo da distribuição gama é a letra grega maiúscula Γ. Portanto, se uma variável aleatória segue uma distribuição gama, ela é escrita da seguinte forma:

$X\sim \Gamma(\alpha,\lambda)$

A distribuição gama também pode ser parametrizada usando o parâmetro de forma k = α e o parâmetro de escala inversa θ = 1/λ. Em todos os casos, os dois parâmetros que definem a distribuição gama são números reais positivos.

Normalmente, a distribuição gama é usada para modelar conjuntos de dados distorcidos à direita, de modo que haja uma maior concentração de dados no lado esquerdo do gráfico. Por exemplo, a distribuição gama é usada para modelar a confiabilidade de componentes elétricos.

➤ Saiba mais: Distribuição gama

Distribuição Weibull

A distribuição Weibull é uma distribuição de probabilidade contínua definida por dois parâmetros característicos: o parâmetro de forma α e o parâmetro de escala λ.

Nas estatísticas, a distribuição Weibull é usada principalmente para análise de sobrevivência. Da mesma forma, a distribuição Weibull tem muitas aplicações em diferentes campos.

$X\sim\text{Weibull}(\alpha,\lambda)$

Segundo os autores, a distribuição Weibull também pode ser parametrizada com três parâmetros. Em seguida, é adicionado um terceiro parâmetro denominado valor limite, que indica a abcissa na qual o gráfico de distribuição começa.

A distribuição Weibull recebeu o nome do sueco Waloddi Weibull, que a descreveu detalhadamente em 1951. No entanto, a distribuição Weibull foi descoberta por Maurice Fréchet em 1927 e aplicada pela primeira vez por Rosin e Rammler em 1933.

➤ Para saber mais: Distribuição Weibull

Distribuição de Pareto

A distribuição de Pareto é uma distribuição de probabilidade contínua usada em estatística para modelar o princípio de Pareto. Portanto, a distribuição de Pareto é uma distribuição de probabilidade que possui alguns valores cuja probabilidade de ocorrência é muito maior que o restante dos valores.

Lembre-se que a lei de Pareto, também chamada de regra 80-20, é um princípio estatístico que diz que a maior parte da causa de um fenômeno se deve a uma pequena parte da população.

A distribuição de Pareto possui dois parâmetros característicos: o parâmetro de escala x _m e o parâmetro de forma α.

$X\sim \text{Pareto}(\alpha,x_m)$

Originalmente, a distribuição de Pareto era usada para descrever a distribuição da riqueza dentro da população, porque a maior parte dela se devia a uma pequena proporção da população. Mas actualmente a distribuição de Pareto tem muitas aplicações, por exemplo no controlo de qualidade, na economia, na ciência, no campo social, etc.

➤ Saiba mais: Distribuição de Pareto

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Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais