Distribuição geométrica

By Dr. benjamim anderson Agosto 3, 2023 Probabilidade 0 Comments

Este artigo explica o que é distribuição geométrica nas estatísticas. Você encontrará, portanto, a definição de distribuição geométrica, exemplos de distribuições geométricas e as propriedades deste tipo de distribuição de probabilidade. Além disso, você pode calcular qualquer probabilidade de distribuição geométrica com uma calculadora online.

O que é distribuição geométrica?

A distribuição geométrica é uma distribuição de probabilidade que define o número de tentativas de Bernoulli necessárias para obter o primeiro resultado bem-sucedido.

Ou seja, uma distribuição geométrica modela processos nos quais os experimentos de Bernoulli são repetidos até que um deles obtenha resultado positivo.

Lembre-se de que um teste de Bernoulli é um experimento que tem dois resultados possíveis: “sucesso” e “fracasso”. Portanto, se a probabilidade de “sucesso” for p , a probabilidade de “fracasso” é q=1-p .

A distribuição geométrica depende portanto do parâmetro p , que é a probabilidade de sucesso de todos os experimentos realizados. Além disso, a probabilidade p é a mesma para todos os experimentos.

$X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

Da mesma forma, a distribuição geométrica também pode ser definida como o número de falhas antes do primeiro sucesso. Neste caso, a distribuição pode assumir o valor x=0 e sua fórmula varia ligeiramente. Mas o mais comum é voltar à definição da distribuição geométrica explicada no início desta seção.

Exemplos de distribuição geométrica

Depois de vermos a definição de distribuição geométrica, esta seção mostra vários exemplos de variáveis aleatórias que seguem este tipo de distribuição.

Exemplos de distribuição geométrica:

O número de lançamentos de moedas feitos até obter cara.
O número de carros passando em uma estrada até verem um carro vermelho.
O número de vezes que uma pessoa deve fazer o exame de direção até ser aprovada.
O número de lançamentos de dados feitos até que o número 6 seja lançado.
O número de lances livres que devem ser executados até que um gol seja marcado.

Fórmula de distribuição geométrica

Numa distribuição geométrica, a probabilidade de ter que fazer x tentativas para obter um resultado positivo é o produto do parâmetro p vezes (1-p) elevado à potência de x-1 .

Portanto, a fórmula para calcular uma probabilidade da distribuição geométrica é:

👉 Você pode usar a calculadora abaixo para calcular a probabilidade de uma variável que segue a distribuição geométrica.

Por outro lado, a fórmula da função de distribuição que permite calcular uma probabilidade cumulativa da distribuição geométrica é a seguinte:

$P[X\leq x]=1-(1-p)^x$

Exercício de distribuição geométrica resolvido

Qual é a probabilidade de obter o número 5 no terceiro lançamento do dado?

A distribuição de probabilidade deste problema é uma distribuição geométrica, pois define o número de lançamentos necessários (três) para obter um resultado positivo (o número 5).

Devemos, portanto, primeiro calcular a probabilidade de sucesso de cada lançamento. Neste caso, há apenas um resultado positivo entre seis resultados possíveis, então a probabilidade p é:

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

E então aplicamos a fórmula de distribuição geométrica para determinar a probabilidade que o exercício nos pede:

$\begin{aligned}\displaystyle P[X=x]&=(1-p)^{x-1}\cdot p\\[2ex]\displaystyle P[X=3]&=\left(1-\frac{1}{6}\right)^{3-1}\cdot \frac{1}{6}\\[2ex]\displaystyle P[X=3]&=0,1157\end{aligned}$

Características de distribuição geométrica

A distribuição geométrica atende às seguintes características:

A distribuição geométrica possui um parâmetro característico, p , que é a probabilidade de sucesso de cada um dos experimentos realizados.

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{array}{c} of each experiment carried out.</li></ul>[latex]E[X]=\cfrac{1}{p}

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \begin{array}{c}
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...0 <ul><li> The mean of the general distribution
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...><li> The mean of the geometric distribution
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...ne of the geometric distribution is
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...the geometric distribution is equal to
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...geometric tion is equal to one divided
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...st equals one divided by probability
Please use \mathaccent for accents in math mode.

A variância da distribuição geométrica é equivalente à diferença de 1 menos p sobre o quadrado de p .

$Var(X)=\cfrac{1-p}{p^2}$

A fórmula para a função massa da distribuição geométrica é:

$P[X=x]=(1-p)^{x-1}\cdot p$

Da mesma forma, a fórmula para a função de probabilidade cumulativa da distribuição geométrica é:

$P[X\leq x]=1-(1-p)^x$

A distribuição geométrica é um caso especial da distribuição binomial negativa. Mais precisamente, isso é equivalente a uma distribuição binomial negativa com parâmetro r=1 .

$X\sim \text{BN}(1,p) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

➤ Veja: Distribuição binomial negativa
➤ Veja: Distribuição binomial

Calculadora de distribuição geométrica

Insira o valor do parâmetro p e o valor de x na calculadora a seguir para calcular a probabilidade. Você precisa selecionar a probabilidade que deseja calcular e inserir os números usando o ponto como separador decimal, por exemplo 0,1667.

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Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais