Distribuição hipergeométrica

By Dr. benjamim anderson Agosto 6, 2023 Probabilidade 0 Comments

Neste artigo explicamos o que é a distribuição hipergeométrica e como se calcula uma probabilidade com este tipo de distribuição. Você encontrará online a fórmula da distribuição hipergeométrica, quais são suas características, bem como uma calculadora para calcular a probabilidade da distribuição hipergeométrica.

Qual é a distribuição hipergeométrica?

A distribuição hipergeométrica é uma distribuição de probabilidade que descreve o número de casos de sucesso em uma extração aleatória sem substituição de n elementos de uma população.

Ou seja, a distribuição hipergeométrica é utilizada para calcular a probabilidade de obter x sucessos ao extrair n elementos de uma população sem substituir nenhum deles.

A distribuição hipergeométrica possui três parâmetros:

N : é o número de elementos da população (N = 0, 1, 2,…).
K : é o número máximo de casos de sucesso (K = 0, 1, 2,…,N). Como em uma distribuição hipergeométrica um elemento só pode ser considerado um “sucesso” ou um “fracasso”, NK é o número máximo de casos de falha.
n : é o número de buscas sem substituição executadas.

$X \sim HG(N,K,n)$

Por exemplo, uma variável aleatória discreta X que tem uma distribuição hipergeométrica com parâmetros N=8, K=5 e n=3 é definida como segue:

$X \sim HG(8,5,3)$

Fórmula de distribuição hipergeométrica

A fórmula para a distribuição hipergeométrica é o produto do número combinatório de K sobre x pelo número combinatório de NK sobre nx dividido pelo número combinatório de N sobre n .

Onde N é o tamanho da população, K é o número total de casos favoráveis, n é o número de extrações sem reposição e x é o número de casos favoráveis para os quais a probabilidade de ocorrência deve ser calculada.

👉 Você pode usar a calculadora abaixo para calcular a probabilidade de um evento de uma variável que segue a distribuição hipergeométrica.

Exemplo de distribuição hipergeométrica

Depois de vermos a definição e a fórmula da distribuição hipergeométrica, agora resolveremos um exemplo passo a passo para que você saiba calcular a probabilidade de uma distribuição hipergeométrica.

Em um saco colocamos 20 bolas azuis e 30 bolas vermelhas, ou seja, são 50 bolas no total dentro do saco. Se tirarmos 12 bolas sem substituir nenhuma, encontre a probabilidade de tirar 4 bolas azuis.

A primeira coisa que precisamos fazer para resolver o exercício é identificar os parâmetros da distribuição hipergeométrica. Neste caso, o número total de elementos da população é 50 ( N =50), o número máximo de casos favoráveis é 20 ( K =20) e são sorteadas 12 bolas ( n =12).

$\left.\begin{array}{c}N=50\\[2ex]K=20\\[2ex]n=12\end{array}\right\} \longrightarrow \ X\sim HG(50,20,12)$

Queremos calcular a probabilidade de tirar 4 bolas azuis ( x =4), então aplicamos a fórmula de distribuição hipergeométrica, substituímos as variáveis pelos seus valores correspondentes e realizamos o cálculo:

$P\bigl[X=x\bigr]=\cfrac{\begin{pmatrix}K\\x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}N-K\\n-x\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix}}$

$\begin{aligned}P\bigl[X=4\bigr]&=\cfrac{\begin{pmatrix}20\\4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}50-20\\12-4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}50\\12\end{pmatrix}} \\[1.5ex]&=\cfrac{\begin{pmatrix}20\\4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}30\\8\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}50\\12\end{pmatrix}} \\[1.5ex]&=0,2336 \end{aligned}$

Calculadora de distribuição hipergeométrica

Insira os parâmetros da distribuição hipergeométrica na calculadora online a seguir para calcular a probabilidade de ocorrência do evento desejado.

Lembre-se que N é o tamanho da população, K é o número total de casos favoráveis, n é o tamanho da amostra e x é o valor para o qual queremos encontrar a probabilidade de isso acontecer.

Características da distribuição hipergeométrica

A distribuição hipergeométrica tem as seguintes propriedades:

O valor esperado de uma distribuição hipergeométrica é igual ao número de elementos da amostra multiplicado pelo número total de casos favoráveis dividido pelo número de elementos da população.

$E[X]=\cfrac{n\cdot K}{N}$

A moda de uma distribuição hipergeométrica é o valor arredondado para baixo do produto de n+1 vezes K+1 dividido por N+2 .

$\displaystyle M=\Bigg\lfloor \frac{(n+1)(K+1)}{N+2}\Bigg\rfloor$

A variância de uma distribuição hipergeométrica pode ser obtida usando a seguinte expressão:

$\displaystyle Var[X]=\cfrac{nK}{N}\left(\frac{N-K}{N}\right)\left(\frac{N-n}{N-1}\right)$

A função geradora de momento de uma distribuição hipergeométrica é a seguinte:

$\cfrac{{N-K \choose n} \scriptstyle{\,_2F_1(-n, -K; N - K-n+1; e^{t}) } }{{N \choose n}}$

A função característica da distribuição hipergeométrica é a seguinte:

$\cfrac{{N-K \choose n} \scriptstyle{\,_2F_1(-n, -K; N - K - n + 1; e^{it}) }}{{N \choose n}}$

A probabilidade de ocorrência de um determinado número de eventos pode ser calculada a partir da probabilidade do número anterior usando a recursiva para a distribuição hipergeométrica:

$P[X=x+1]=\cfrac{(K-x)(n-x)}{(x+1)(N-K-n+x-1)}\cdot P[X=x]$

Distribuição hipergeométrica e distribuição binomial

A diferença entre a distribuição hipergeométrica e a distribuição binomial é a substituição. A distribuição hipergeométrica é usada quando as recuperações não são substituídas, porém, na distribuição binomial as recuperações são substituídas.

Por exemplo, se tirarmos cinco cartas aleatoriamente de um baralho e quisermos calcular a probabilidade de obter determinada carta, se não substituirmos cada carta que compramos, devemos utilizar a distribuição hipergeométrica para fazer o cálculo. Mas se ao retirar uma carta a colocamos de volta antes de realizar a próxima extração, então devemos usar a distribuição binomial para calcular a probabilidade.

Quando o número N é grande, a razão n/N é pequena e o número de casos favoráveis desejados é muito pequeno, podemos usar a distribuição hipergeométrica como uma aproximação da distribuição binomial. Porém, não recomendo porque o resultado não será tão confiável e, além disso, é mais fácil calcular probabilidades com a lei binomial do que com a lei hipergeométrica.

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Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais