Uma introdução à distribuição multinomial

A distribuição multinomial descreve a probabilidade de obter um número específico de contagens para k resultados diferentes, quando cada resultado tem uma probabilidade fixa de ocorrer.

_{Se uma} variável aleatória _{_} puder ser encontrada pela seguinte fórmula:

Probabilidade = n! * (p ₁ ^{x ₁} * p ₂ ^{x ₂} * … * p _k ^{x _k} ) / (x ₁ ! * x ₂ ! … * x _k !)

Ouro:

• n: número total de eventos
• x ₁ : número de vezes que o resultado 1 ocorre
• p ₁ : probabilidade de que o resultado 1 ocorra em uma determinada tentativa

Por exemplo, suponha que haja 5 bolinhas vermelhas, 3 bolinhas verdes e 2 bolinhas azuis em uma urna. Se retirarmos aleatoriamente 5 bolinhas de gude da urna, com reposição, qual é a probabilidade de obter exatamente 2 bolinhas vermelhas, 2 bolinhas verdes e 1 bolinha azul?

Para responder a esta questão, podemos usar a distribuição multinomial com os seguintes parâmetros:

• número : 5
• x ₁ (# bolinhas de gude vermelhas) = 2, x ₂ (# bolinhas de gude verdes) = 2, x ₃ (# bolinhas de gude azuis) = 1
• p ₁ (prob. vermelho) = 0,5, p ₂ (prob. verde) = 0,3, p ₃ (prob. azul) = 0,2

Colocando esses números na fórmula, descobrimos que a probabilidade é:

Probabilidade = 5! * (0,5 ² * 0,3 ² * 0,2 ¹ ) / (2! * 2! * 1!) = 0,135 .

Problemas práticos de distribuição multinomial

Use os seguintes problemas práticos para testar seu conhecimento sobre distribuição multinomial.

Nota: Usaremos a Calculadora de Distribuição Multinomial para calcular as respostas a essas perguntas.

Problema 1

Pergunta: Em uma eleição tripartida para prefeito, o candidato A recebe 10% dos votos, o candidato B recebe 40% dos votos e o candidato C recebe 50% dos votos. Se selecionarmos uma amostra aleatória de 10 eleitores, qual é a probabilidade de que 2 tenham votado no candidato A, 4 votassem no candidato B e 4 votassem no candidato C?

Resposta: Usando a Calculadora de Distribuição Multinomial com as seguintes entradas, descobrimos que a probabilidade é 0,0504:

Problema 2

Pergunta: Suponha que uma urna contenha 6 bolinhas amarelas, 2 bolinhas vermelhas e 2 bolinhas rosa. Se selecionarmos aleatoriamente 4 bolas da urna, com reposição, qual é a probabilidade de todas as 4 bolas serem amarelas?

Resposta: Usando a Calculadora de Distribuição Multinomial com as seguintes entradas, descobrimos que a probabilidade é 0,1296:

Problema 3

Pergunta: Suponha que dois alunos estejam jogando xadrez um contra o outro. A probabilidade de o aluno A vencer um determinado jogo é 0,5, a probabilidade de o aluno B vencer um determinado jogo é 0,3 e a probabilidade de haver empate em um determinado jogo é 0, 2. Se eles jogarem 10 jogos, qual é o probabilidade de que o jogador A ganhe 4 vezes, o jogador B ganhe 5 vezes e empatem 1 vez?

Resposta: Usando a Calculadora de Distribuição Multinomial com as seguintes entradas, descobrimos que a probabilidade é 0,038272:

Recursos adicionais

Os tutoriais a seguir fornecem uma introdução a outras distribuições comuns em estatísticas:

Uma introdução à distribuição normal
Uma introdução à distribuição binomial
Uma introdução à distribuição de Poisson
Uma introdução à distribuição geométrica