Distribuição multinomial

By Dr. benjamim anderson Agosto 4, 2023 Probabilidade 0 Comments

Este artigo explica o que é uma distribuição multinomial em estatística. Assim, você encontrará a definição de distribuição multinomial, qual a sua fórmula, um exercício resolvido e quais são as propriedades desse tipo de distribuição de probabilidade. Além disso, você poderá calcular a probabilidade de uma distribuição multinomial com uma calculadora online.

O que é uma distribuição multinomial?

A distribuição multinomial (ou distribuição multinomial ) é uma distribuição de probabilidade que descreve a probabilidade de vários eventos mutuamente exclusivos ocorrerem um determinado número de vezes após várias tentativas.

Ou seja, se um experimento aleatório pode resultar em três ou mais eventos exclusivos e a probabilidade de cada evento ocorrer separadamente é conhecida, a distribuição multinomial é usada para calcular a probabilidade de que, quando vários experimentos são realizados, um certo número de eventos ocorra. vez, todas as vezes.

A distribuição multinomial é, portanto, uma generalização da distribuição binomial.

Fórmula de distribuição multinomial

Para calcular uma probabilidade de distribuição multinomial, deve-se primeiro determinar o quociente entre o fatorial do número total de dados e os fatoriais do número de ocorrências de cada evento, e o resultado é multiplicado pelo produto da probabilidade de cada evento. levado ao número de ocorrências do referido evento.

Em outras palavras, a fórmula para a distribuição multinomial é a seguinte:

Ouro:

$P$

é a probabilidade da distribuição multinomial calculada.
$n$

é o número total de testes realizados.
$x_i$

é o número de vezes que o evento ocorre

$i$

.
$p_i$

é a probabilidade do evento ocorrer

$i$

.

👉 Você pode usar a calculadora abaixo para calcular a probabilidade de uma variável que segue a distribuição multinomial.

Exemplo de distribuição multinomial

Para finalizar a compreensão do conceito de distribuição multinomial, a seguir você resolveu um exemplo de cálculo da probabilidade de uma distribuição multinomial.

Uma loja vende três produtos diferentes. Quando um cliente faz uma compra, a probabilidade de ser o produto A, o produto B ou o produto C é de 30%, 15% e 55% respectivamente. Encontre a probabilidade de que, quando a loja vendeu 8 unidades, 2 sejam do produto A, 1 do produto B e 5 do produto C.

O problema definido é regido por uma distribuição multinomial, sendo portanto necessário aplicar a fórmula para este tipo de distribuição de probabilidade:

$P=\cfrac{n!}{x_1!\cdot x_2!\cdot x_3!}\cdot p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\cdot p_3^{x_3}$

Então substituímos os dados do problema na fórmula e realizamos o cálculo de probabilidade:

$P=\cfrac{8!}{2!\cdot 1!\cdot 5!}\cdot 0,30^{2}\cdot 0,15^{1}\cdot 0,55^{5}=0,114$

Portanto, a probabilidade de que o que a definição do problema diz aconteça é de 11,4%.

Calculadora de distribuição multinomial

Escreva o número de ocorrências de cada evento na primeira caixa e, na mesma ordem, a probabilidade de ocorrência de cada evento na segunda caixa. Em seguida, insira o número total de tentativas realizadas no último espaço em branco.

Os dados devem ser separados por espaço e inseridos usando o ponto final como separador decimal.

Propriedades da distribuição multinomial

A distribuição multinomial possui as seguintes características:

Em uma distribuição multinomial, o valor esperado do número de vezes que o evento i ocorre ao executar n tentativas é igual ao número total de tentativas realizadas multiplicado pela probabilidade de ocorrência do evento.

$E[x_i]=n\cdot p_i$

Em uma distribuição multinomial, a variância do evento i é calculada usando a seguinte expressão:

$Var(x_i)=n\cdot p_i\cdot (1-p_i)$

Da mesma forma, a covariância entre dois eventos é equivalente ao produto do número total de tentativas multiplicado pela probabilidade de cada evento multiplicado por -1:

$Cov(x_i,x_j)=-n\cdot p_i\cdot p_j\qquad i\neq j$

A função geradora de momento para uma distribuição multinomial é:

$\displaystyle \left(\sum_{i=1}^k p_ie^{t_i}\right) ^n$

About Author

Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais