Distribuição normal

By Dr. benjamim anderson Agosto 3, 2023 Probabilidade 0 Comments

Este artigo explica o que é a distribuição normal nas estatísticas. Assim, você encontrará a definição de distribuição normal, exemplos de distribuições normais e quais são as propriedades da distribuição normal.

Qual é a distribuição normal?

A distribuição normal é uma distribuição de probabilidade contínua cujo gráfico tem forma de sino e é simétrico em relação à sua média. Nas estatísticas, a distribuição normal é utilizada para modelar fenômenos com características muito diferentes, por isso essa distribuição é tão importante.

Na verdade, em estatística, a distribuição normal é considerada de longe a distribuição mais importante de todas as distribuições de probabilidade, porque não só pode modelar um grande número de fenómenos do mundo real, mas a distribuição normal também pode ser usada para aproximar outros tipos de fenómenos. distribuições. sob certas condições.

O símbolo da distribuição normal é a letra N maiúscula. Assim, para indicar que uma variável segue uma distribuição normal, ela é indicada pela letra N e os valores de sua média aritmética e desvio padrão são somados entre parênteses.

$X\sim N(\mu,\sigma)$

A distribuição normal tem muitos nomes diferentes, incluindo distribuição Gaussiana , distribuição Gaussiana e distribuição Laplace-Gauss .

Exemplos de distribuições normais

Normalmente, os conjuntos de dados que seguem uma distribuição normal contêm um grande número de observações e cobrem tópicos muito gerais. Abaixo estão vários exemplos de amostras estatísticas que geralmente podem ser modeladas com uma distribuição normal.

Exemplos de distribuição normal:

O tamanho dos alunos em um curso.
O QI dos trabalhadores de uma empresa.
O número de peças defeituosas produzidas em uma fábrica em um dia.
As notas obtidas em um exame pelos alunos de um curso.
A rentabilidade das ações das empresas listadas em bolsa.

Gráfico de distribuição normal

Depois de ver o que é a distribuição normal e alguns exemplos desse tipo de distribuição de probabilidade, vamos ver como é seu gráfico para entender melhor o conceito.

No gráfico a seguir você pode ver como a função densidade da distribuição normal varia dependendo dos valores de sua média aritmética e desvio padrão.

Tendo formato de sino centrado na média aritmética, se uma variável tem distribuição normal significa que o valor mais repetido é a média e que os valores em torno da média se repetem com mais frequência que os valores extremos. Da mesma forma, quanto maior o desvio padrão da distribuição normal, mais plana será a forma da sua representação gráfica.

Por outro lado, o gráfico da função de probabilidade cumulativa da distribuição normal também depende dos valores de sua média aritmética e desvio padrão, como você pode ver na imagem a seguir:

A função densidade e a função distribuição da distribuição normal permitem calcular probabilidades ligadas a esta distribuição. No entanto, em vez de usar suas fórmulas, você pode usar diretamente as tabelas de distribuição normais porque é mais rápido. Você pode consultar essas tabelas no seguinte link:

➤ Veja: Tabela de distribuição normal

Características da distribuição normal

A distribuição normal tem as seguintes características:

A distribuição normal depende de dois parâmetros característicos, que são a sua média aritmética (μ) e o seu desvio padrão (σ).

$X\sim N(\mu,\sigma)$

A distribuição normal pode assumir valores positivos e negativos, portanto o domínio da distribuição normal consiste em números reais.

$x\in \mathbb{R}$

A mediana e a moda da distribuição normal são iguais à média aritmética da distribuição.

$Me=Mo=\mu$

O coeficiente de assimetria e o coeficiente de curtose da distribuição normal são zero.

$\begin{array}{c}A=0\\[2ex]C=0\end{array}$

A fórmula para a função densidade da distribuição normal é:

$\displaystyle P[X=x]=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{ - \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

Da mesma forma, a fórmula para a função de probabilidade cumulativa da distribuição normal é:

$\displaystyle P[X\leq x]=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}\, dx ,\quad x\in\mathbb{R}$

Uma aplicação do teorema do limite central é que uma distribuição de Poisson pode aproximar-se de uma distribuição normal quando o valor de λ é suficientemente grande.

$\text{Poisson}(\lambda)\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ N\left(\lambda, \sqrt{\lambda}\right)$

Outra aplicação do teorema do limite central é que uma distribuição binomial pode ser aproximada por uma distribuição normal para conjuntos de dados com um grande número de observações.

$\text{Bin}(n,p)\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ N\left(n\cdot p, \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}\right)$

Distribuição normal padrão

A distribuição normal padrão , também chamada de distribuição normal unitária , é o caso mais simples de distribuição normal. Mais precisamente, a distribuição normal padrão é uma distribuição normal com valores de média e desvio padrão iguais a 0 e 1 respectivamente.

$\displaystyle N(0,1) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\begin{cases} \mu=0\\[2ex]\sigma=1\end{cases}$

Observe que qualquer distribuição normal pode ser transformada em uma distribuição normal padrão aplicando um processo denominado digitação, que envolve subtrair sua média aritmética de cada valor e depois dividir por seu desvio padrão.

Além disso, a distribuição normal padrão é usada para determinar qualquer probabilidade de uma distribuição normal usando sua tabela de probabilidades. Assim, para encontrar a probabilidade de uma distribuição normal, a variável é primeiro inserida para convertê-la em uma distribuição normal padrão e, a seguir, olhamos na tabela para ver qual é o valor de probabilidade correspondente. Para saber mais, clique no seguinte link:

➤ Veja: Distribuição Normal Padrão

A distribuição normal e a regra empírica

Nas estatísticas, a regra prática , também chamada de regra 68-95-99,7 , é uma regra que define a porcentagem de valores em uma distribuição normal que estão dentro de três desvios padrão da média.

Mais especificamente, a regra prática afirma o seguinte:

68% dos valores em uma distribuição normal estão dentro de um desvio padrão da média.
95% dos valores em uma distribuição normal estão dentro de dois desvios padrão da média.
99,7% dos valores em uma distribuição normal estão dentro de três desvios padrão da média.

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Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais