Estatísticas de contraste

By Dr. benjamim anderson Agosto 3, 2023 Estatisticas 0 Comments

Este artigo explica o que é uma estatística de contraste, quais são as fórmulas mais comuns para estatísticas de contraste e mais, a relação entre estatística de contraste, região de rejeição e região de aceitação.

Qual é a estatística de contraste?

A estatística de contraste é uma variável com distribuição de probabilidade conhecida relacionada à hipótese do estudo. Especificamente, a estatística de contraste é usada em testes de hipóteses para rejeitar ou aceitar a hipótese nula.

Na verdade, a decisão de rejeitar ou não a hipótese nula de um teste de hipótese é baseada no valor da estatística do teste. Se o valor da estatística de teste cair na região de rejeição, a hipótese nula é rejeitada. ao passo que se o valor da estatística de teste estiver dentro da região de aceitação, a hipótese nula é aceita.

➤ Veja: Teste de hipóteses (estatísticas)

Fórmulas de estatísticas de contraste

Dependendo do tipo de teste de hipótese, a distribuição da estatística do teste é diferente. A fórmula para a estatística de teste, portanto, também depende do tipo de teste de hipótese. A seguir veremos como a estatística de teste é calculada dependendo do tipo de teste de hipótese.

Estatística de contraste para média

A fórmula para a estatística de teste de hipótese para a média com variância conhecida é:

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Ouro:

$Z$

é a estatística do teste de hipótese para a média.
$\overline{x}$

é a média da amostra.
$\mu$

é o valor médio proposto.
$\sigma$

é o desvio padrão da população.
$n$

é o tamanho da amostra.

Uma vez calculada a estatística de contraste de hipótese para a média, o resultado deve ser interpretado para rejeitar ou rejeitar a hipótese nula:

Se o teste de hipótese para a média for bilateral, a hipótese nula é rejeitada se o valor absoluto da estatística for maior que o valor crítico Z _α/2 .
Se o teste de hipótese para a média corresponder à cauda direita, a hipótese nula será rejeitada se a estatística for maior que o valor crítico Z _α .
Se o teste de hipótese para a média corresponder à cauda esquerda, a hipótese nula será rejeitada se a estatística for menor que o valor crítico -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Neste caso, os valores críticos são obtidos na tabela de distribuição normal padronizada.

Por outro lado, a fórmula para a estatística de teste de hipótese para a média com variância desconhecida é:

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

Ouro:

$t$

é a estatística do teste de hipótese para a média, que é definida pela distribuição t de Student.
$\overline{x}$

é a média da amostra.
$\mu$

é o valor médio proposto.
$s$

é o desvio padrão da amostra.
$n$

é o tamanho da amostra.

Como antes, o resultado calculado da estatística de contraste deve ser interpretado com o valor crítico para rejeitar ou não a hipótese nula:

Se o teste de hipótese para a média for bilateral, a hipótese nula é rejeitada se o valor absoluto da estatística for maior que o valor crítico t _α/2|n-1 .
Se o teste de hipótese para a média corresponder à cauda direita, a hipótese nula será rejeitada se a estatística for maior que o valor crítico t _α|n-1 .
Se o teste de hipótese para a média corresponder à cauda esquerda, a hipótese nula será rejeitada se a estatística for menor que o valor crítico -t _α|n-1 .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Quando a variância é desconhecida, os valores críticos do teste são obtidos na tabela de distribuição de Student.

➤ Veja: Teste de hipótese para a média

Estatística de contraste para proporção

A fórmula para a estatística de teste de hipótese para proporção é:

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

Ouro:

$Z$

é a estatística do teste de hipótese para a proporção.
$\widehat{p}$

é a proporção da amostra.
$p$

é o valor da proporção proposta.
$n$

é o tamanho da amostra.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

é o desvio padrão da proporção.

Tenha em mente que não basta calcular a estatística do teste de hipótese para a proporção, mas o resultado deve então ser interpretado:

Se o teste de hipótese para a proporção for bilateral, a hipótese nula é rejeitada se o valor absoluto da estatística for maior que o valor crítico Z _α/2 .
Se o teste de hipótese para a proporção corresponder à cauda direita, a hipótese nula é rejeitada se a estatística for maior que o valor crítico Z _α .
Se o teste de hipótese para a proporção corresponder à cauda esquerda, a hipótese nula é rejeitada se a estatística for menor que o valor crítico -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Lembre-se de que os valores críticos podem ser facilmente obtidos na tabela de distribuição normal padrão.

➤ Veja: Teste de hipótese para proporção

Estatística de contraste para variância

A fórmula para calcular a estatística do teste de hipótese para variância é:

$\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

Ouro:

$\chi^2$

é a estatística de teste de hipótese para variância, que tem uma distribuição qui-quadrado.
$n$

é o tamanho da amostra.
$s^2$

é a variância da amostra.
$\sigma^2$

é a variância da população proposta.

Para interpretar o resultado da estatística, o valor obtido deve ser comparado com o valor crítico do teste.

Se o teste de hipótese de variância for bicaudal, a hipótese nula será rejeitada se a estatística for maior que o valor crítico.
$\chi_{1-\alpha/2|n-1}^2$

ou se o valor crítico for menor que

$\chi_{\alpha/2|n-1}$

.
Se o teste de hipótese para a variância corresponder à cauda direita, a hipótese nula será rejeitada se a estatística for maior que o valor crítico
$\chi_{1-\alpha|n-1}^2$

.
Se o teste de hipótese para variância corresponder à cauda esquerda, a hipótese nula será rejeitada se a estatística for menor que o valor crítico
$\chi_{\alpha|n-1}$

.

$\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Os valores críticos do teste de hipótese para variância são obtidos na tabela de distribuição qui-quadrado. Observe que os graus de liberdade da distribuição qui-quadrado são o tamanho da amostra menos 1.

➤ Veja: Teste de hipótese de variância

Estatística de contraste, região de rejeição e região de aceitação

Num teste de hipótese, a região de rejeição é a região do gráfico da distribuição da estatística de teste que implica rejeição da hipótese nula (e aceitação da hipótese alternativa). Por outro lado, a região de aceitação é a região do gráfico de distribuição da estatística de teste que implica aceitação da hipótese nula (e rejeição da hipótese alternativa).

Assim, o valor da estatística de contraste determina o resultado de um teste de hipótese da seguinte maneira:

Se a estatística de teste estiver dentro da região de rejeição, a hipótese nula é rejeitada e a hipótese alternativa é aceita.
Se a estatística de teste estiver dentro da região de aceitação, a hipótese nula é aceita e a hipótese alternativa é rejeitada.

Os valores que separam a região de rejeição da região de aceitação são chamados de valores críticos . Portanto, precisamos calcular os valores críticos para conhecer os limites da região de rejeição e da região de aceitação e, portanto, saber quando rejeitar e quando aceitar a hipótese nula.

➤ Veja: Valor crítico

About Author

Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais

Qual é a estatística de contraste?

Fórmulas de estatísticas de contraste

Estatística de contraste para média

Estatística de contraste para proporção

Estatística de contraste para variância

Estatística de contraste, região de rejeição e região de aceitação

About Author

Dr. benjamim anderson

Add a Comment