Intervalo de estimativa

By Agosto 3, 2023 Estatisticas 0 Comments

Este artigo explica o que é estimativa de intervalo nas estatísticas. Você também aprenderá como a estimativa intervalar é realizada e, finalmente, como a estimativa intervalar difere da estimativa pontual.

O que é estimativa de intervalo?

Nas estatísticas, a estimativa de intervalo é um processo no qual o valor de um parâmetro populacional é estimado usando um intervalo. Mais precisamente, a estimativa de intervalo envolve o cálculo do intervalo no qual o valor do parâmetro tem maior probabilidade de ser encontrado com um certo nível de confiança .

Por exemplo, se numa estimativa intervalar chegarmos à conclusão de que o intervalo de confiança para a média da população é (3,7) com um nível de confiança de 95%, isso significa que a média da população estudada estará entre 3 e 7 com um probabilidade de 95%.

Em geral, o tamanho de uma população é demasiado grande para estudar todos os seus indivíduos, pelo que o valor das suas medidas estatísticas não pode ser conhecido com certeza, mas sim com uma aproximação.

Assim, a estimativa intervalar é utilizada para fornecer, com base em dados amostrais, uma aproximação da faixa de valores entre os quais se encontra o parâmetro populacional. Desta forma, o valor do parâmetro populacional pode ser estimado a partir dos dados estudados a partir de uma amostra.

Finalmente, para compreender completamente o significado da estimativa intervalar, você precisa ter clareza sobre o conceito de intervalo de confiança. Um intervalo de confiança é o intervalo que fornece, com margem de erro, uma aproximação dos valores entre os quais se encontra o valor de um parâmetro populacional. Portanto, o intervalo de confiança é o resultado obtido a partir de uma estimativa intervalar.

Fórmulas de estimativa de intervalo

Abaixo você encontrará as diferentes fórmulas para estimar os intervalos de confiança, pois dependendo se você deseja estimar o intervalo de confiança para a média, para a variância ou para a proporção, a fórmula a utilizar é diferente.

Intervalo de confiança para a média

Supondo que o processo de inserção de uma variável seja assim:

Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)

O intervalo de confiança da média é calculado somando e subtraindo da média amostral o valor de Z α/2 multiplicado pelo desvio padrão (σ) e dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra (n). Portanto, a fórmula para calcular o intervalo de confiança da média é:

\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Para amostras grandes e nível de confiança de 95%, o valor crítico é Z α/2 = 1,96 e para nível de confiança de 99%, o valor crítico é Z α/2 = 2,576.

A fórmula acima é usada quando a variância populacional é conhecida. Porém, se a variância populacional for desconhecida, que é o caso mais comum, o intervalo de confiança para a média é calculado utilizando a seguinte fórmula:

\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)

Ouro:

  • \overline{x}

    é a média da amostra.

  • t_{\alpha/2}

    é o valor da distribuição t de Student de n-1 graus de liberdade com probabilidade de α/2.

  • s

    é o desvio padrão da amostra.

  • n

    é o tamanho da amostra.

intervalo de confiança

Intervalo de confiança para variância

Para calcular o intervalo de confiança para a variância de uma população, é utilizada a distribuição qui-quadrado. Mais especificamente, a fórmula para calcular o intervalo de confiança da variância é:

\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)

Ouro:

  • n

    é o tamanho da amostra.

  • s

    é o desvio padrão da amostra.

  • \chi_{n-1;\alpha/2}

    é o valor da distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade para uma probabilidade menor que α/2.

  • \chi_{n-1;1-\alpha/2}

    é o valor da distribuição Qui-quadrado com n-1 graus de liberdade para uma probabilidade superior a 1-α/2.

Intervalo de confiança para proporção

O intervalo de confiança para a proporção é calculado somando e subtraindo da proporção amostral o valor de Z α/2 multiplicado pela raiz quadrada da proporção amostral (p) multiplicado por 1-p e dividido pelo tamanho da amostra (n). Portanto, a fórmula para calcular o intervalo de confiança da proporção é:

\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)

Ouro:

  • p

    é a proporção da amostra.

  • n

    é o tamanho da amostra.

  • Z_{\alpha/2}

    é o quantil da distribuição normal padrão correspondente a uma probabilidade de α/2. Para amostras grandes e nível de confiança de 95% é geralmente próximo de 1,96 e para nível de confiança de 99% é geralmente próximo de 2,576.

Estimativa de intervalo e estimativa pontual

Por fim, veremos quais são as diferenças entre a estimativa intervalar e a estimativa pontual, uma vez que o valor de um parâmetro populacional pode ser estimado por meio de um intervalo (como vimos ao longo do artigo) ou por meio de um valor pontual.

A diferença entre a estimativa intervalar e a estimativa pontual é a faixa de valores usada na estimativa dos parâmetros. Na estimativa intervalar, um parâmetro é aproximado de um intervalo de confiança, enquanto na estimativa pontual, o parâmetro é aproximado de um valor específico.

Portanto, na estimativa pontual, um único valor, calculado a partir dos dados amostrais, é considerado como uma aproximação do valor do parâmetro populacional. Por exemplo, a média populacional pode ser estimada com precisão usando a média amostral.

Assim, a estimativa pontual tem vantagens e desvantagens sobre a estimativa intervalar, de modo que cada tipo de estimativa é apropriado para uso em uma determinada situação. Para saber mais, clique no seguinte link:

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Dr. Benjamin Anderson
Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais

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