Expectativa matemática (ou valor esperado)

By Dr. benjamim anderson Agosto 5, 2023 Probabilidade 0 Comments

Este artigo explica o que é a expectativa matemática (ou valor esperado) de uma variável aleatória e como calculá-la. Você encontrará um exercício resolvido de esperança matemática. Além disso, você pode encontrar o valor esperado de qualquer conjunto de dados com uma calculadora online.

O que é expectativa matemática (ou valor esperado)?

Nas estatísticas, expectativa , também chamada de valor esperado , é um número que representa o valor médio de uma variável aleatória. A expectativa matemática é igual à soma de todos os produtos formados pelos valores dos eventos aleatórios e suas respectivas probabilidades de ocorrência.

O símbolo da expectativa é o E maiúsculo, por exemplo, a expectativa da variável estatística X é representada por E(X).

Da mesma forma, o valor da expectativa matemática de um conjunto de dados coincide com a sua média (média da população).

Como calcular a expectativa matemática

Para calcular a expectativa matemática de uma variável discreta, devem ser seguidos os seguintes passos:

Multiplique cada evento possível pela sua probabilidade de ocorrência.
Some todos os resultados obtidos na etapa anterior.
O valor obtido é a expectativa matemática (ou valor esperado) da variável.

Assim, a fórmula para calcular a expectativa matemática (ou valor esperado) de uma variável discreta é a seguinte:

👉 Você pode usar a calculadora abaixo para calcular o valor esperado de qualquer conjunto de dados.

Observe que a fórmula acima só pode ser usada se a variável aleatória for discreta (na maioria dos casos). Mas se a variável for contínua, devemos utilizar a seguinte fórmula para obter a expectativa matemática:

$\displaystyle E(X)=\int_\mathbb{R} x\cdot f_x(x) dx$

Ouro

$f_x$

é a função densidade da variável contínua

exemplo de expectativa matemática

Considerando a definição de expectativa (ou valor esperado), segue abaixo um exemplo concreto para você ver como é feito o cálculo.

Uma pessoa participa de um jogo no qual pode ganhar ou perder dinheiro com base no número que aparece ao lançar um dado. Se rolar 1 você ganha $ 800, se rolar 2 ou 3 você perde $ 500 e se rolar 4, 5 ou 6 você ganha $ 100. O preço para participar é de $ 50. Você recomendaria participar deste jogo de probabilidade?

A primeira coisa a fazer é determinar a probabilidade de cada evento. Como um dado tem seis faces, a probabilidade de sair qualquer número é:

$p(\text{obtener un n\'umero})=\cfrac{1}{6}$

A probabilidade de ocorrência de cada evento é, portanto:

$p(\text{ganar }\$800)=\cfrac{1}{6}$

$p(\text{perder }\$500)=2\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{2}{6}$

$p(\text{ganar }\$100)=3\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{3}{6}$

Agora que sabemos a probabilidade de cada evento ocorrer, aplicamos a fórmula matemática da expectativa:

$\displaystyle E(X)=\sum_{i=1}^nx_i\cdot p_i$

E calculamos a expectativa matemática (ou valor esperado):

$E(X)=800\cdot\cfrac{1}{6}-500\cdot \cfrac{2}{6}+100\cdot\cfrac{3}{6}=\$16,67$

O valor esperado é inferior ao preço de participar neste jogo, por isso é melhor não jogar porque no longo prazo acabará por perder dinheiro. Pode ser que se você participar apenas quando atingir 1, você terá um grande lucro, mas a probabilidade de incorrer em perdas no longo prazo é alta.

Deve-se notar que o resultado da expectativa matemática às vezes é um valor impossível, por exemplo, neste caso não é possível obter US$ 16,67.

Calculadora de expectativa

Insira um conjunto de dados estatísticos na calculadora a seguir para calcular o valor esperado. Você deve colocar na primeira caixa o valor de cada evento e na segunda caixa sua probabilidade de ocorrência na mesma ordem.

Os dados devem ser separados por espaço e inseridos usando o ponto final como separador decimal.

Propriedades da expectativa matemática

As propriedades da expectativa matemática são as seguintes:

A expectativa matemática de uma constante é ela mesma.

$E(k)=k$

A expectativa de uma variável aleatória multiplicada por um escalar é igual à expectativa desta variável multiplicada por este escalar.

$E(k\cdot X)=k\cdot E(X)$

A expectativa matemática da soma de duas variáveis equivale à soma das expectativas matemáticas de cada variável.

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

Em geral, multiplicar duas variáveis produz uma expectativa matemática diferente. O resultado só é o mesmo se as variáveis forem independentes.

$E(X\cdot Y)\neq E(X)\cdot E(Y)$

Se todos os valores de uma variável forem maiores ou iguais a zero, então a expectativa matemática dessa variável também é positiva ou igual a zero.

$X\geq 0 \ \longrightarrow \ E(X)\geq 0$

Se todos os valores de uma variável forem menores que todos os valores de outra variável, as expectativas das duas variáveis têm a mesma relação.

$X\leq Y \ \longrightarrow \ E(X)\leq E(Y)$

Se sabemos que uma variável é limitada por dois valores, a sua expectativa matemática também é logicamente limitada.

$a <ul> <li> Si une variable est la combinaison linéaire d’une autre variable, ses attentes mathématiques satisfont à la même relation algébrique : </li> </ul> <p>[latex]Y=a+bX \ \longrightarrow \ E(Y)=a+b\cdot E(X)” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”41″ width=”1116″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> <h2 class=$ Para que é usada a expectativa matemática?

Nesta seção final, nos aprofundaremos no significado da esperança matemática. Concretamente, veremos para que serve esta medida estatística e assim compreenderemos melhor o conceito.

A expectativa matemática (ou valor esperado) é usada para ter o valor da quantia que se espera ganhar ou perder no longo prazo em um espaço probabilístico. Ou seja, a expectativa matemática indica o retorno que será obtido no longo prazo.

Quando uma pessoa pensa em fazer um investimento, como comprar ações de uma empresa, um dos parâmetros a levar em consideração é a expectativa matemática. Porque se você fizesse esse investimento diversas vezes, o retorno econômico que você obteria seria o valor da expectativa matemática. Pode ser considerado como uma média dos benefícios obtidos.

Da mesma forma, a expectativa matemática também é usada em outras áreas, como econometria, física quântica, comércio e até biologia.

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Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais