Compreendendo a forma de uma distribuição binomial

A distribuição binomial descreve a probabilidade de obter k sucessos em n experimentos binomiais.

Se uma variável aleatória X segue uma distribuição binomial, então a probabilidade de X = k sucesso pode ser encontrada pela seguinte fórmula:

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Ouro:

• n: número de tentativas
• k: número de sucessos
• p: probabilidade de sucesso em uma determinada tentativa
• _n C _k : o número de maneiras de obter k sucessos em n tentativas

A distribuição de probabilidade binomial tende a ter formato de sino quando ocorre uma ou mais das duas condições a seguir:

1. O tamanho da amostra (n) é grande.

2. A probabilidade de sucesso para uma determinada tentativa (p) é próxima de 0,5.

No entanto, a distribuição de probabilidade binomial tende a ser distorcida quando nenhuma destas condições ocorre. Para ilustrar isso, considere os seguintes exemplos:

Exemplo 1: O tamanho da amostra (n) é grande

O gráfico a seguir exibe a distribuição de probabilidade quando n = 200 e p = 0,5 .

O eixo x exibe o número de sucessos em 200 tentativas e o eixo y exibe a probabilidade de ocorrência desse número de sucessos.

Como (1) o tamanho da amostra é grande e (2) a probabilidade de sucesso de uma determinada tentativa é próxima de 0,5, a distribuição de probabilidade tem a forma de sino.

Mesmo quando a probabilidade de sucesso para uma determinada tentativa (p) não é próxima de 0,5, a distribuição de probabilidade permanecerá em forma de sino enquanto o tamanho da amostra (n) for grande. Para ilustrar isso, considere os dois cenários a seguir quando p = 0,2 e p = 0,8.

Observe como a distribuição de probabilidade tem formato de sino em ambos os cenários.

Exemplo 2: a probabilidade de sucesso (p) é próxima de 0,5

O gráfico a seguir exibe a distribuição de probabilidade quando n = 10 e p = 0,4 .

Embora o tamanho da amostra (n = 10) seja pequeno, a distribuição de probabilidade permanece em forma de sino porque a probabilidade de sucesso de uma determinada tentativa (p = 0,4) é próxima de 0,5.

Exemplo 3: Distribuições binomiais distorcidas

Quando nem (1) o tamanho da amostra for grande nem (2) a probabilidade de sucesso de uma determinada tentativa for próxima de 0,5, a distribuição de probabilidade binomial será distorcida para a esquerda ou para a direita.

Por exemplo, o gráfico a seguir mostra a distribuição de probabilidade quando n = 20 e p = 0,1 .

Observe como a distribuição está distorcida para a direita.

E o gráfico a seguir mostra a distribuição de probabilidade quando n = 20 e p = 0,9 .

Observe como a distribuição está distorcida para a esquerda.

Notas finais

Cada um dos gráficos deste artigo foi criado usando a linguagem de programação estatística R. Aprenda como traçar suas próprias distribuições de probabilidade binomial em R usando este tutorial .