Fórmulas de probabilidade

By Dr. benjamim anderson Agosto 1, 2023 Probabilidade 0 Comments

Este artigo mostra o que são fórmulas de probabilidade. Assim, você encontrará todas as fórmulas da teoria das probabilidades e, além disso, exemplos de sua aplicação.

Fórmula da regra de Laplace

A regra de Laplace, também conhecida como lei de Laplace, é uma regra usada para calcular a probabilidade de ocorrência de um evento.

A regra de Laplace diz que a probabilidade de ocorrência de um evento é igual ao número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos possíveis. Portanto, para calcular a probabilidade de ocorrência de um evento, os casos que atendem a esse evento devem ser divididos pelo número de resultados possíveis.

Assim, a fórmula da regra de Laplace é a seguinte:

$P(A)=\cfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$

➤ Veja: Exemplo de regra de Laplace

Fórmula para o evento inverso

A probabilidade de um evento é igual a um menos a probabilidade do evento oposto. Em outras palavras, a soma da probabilidade de um evento mais a probabilidade do evento oposto é igual a 1.

$P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)$

Por exemplo, a probabilidade de rolar o número 5 é 0,167, pois podemos determinar a probabilidade de rolar qualquer outro número usando esta propriedade probabilística:

$P(5)=0,167$

$P(1, 2, 3, 4, 6)=1-P(5)=1-0,167=0,833$

Fórmula de Probabilidade Condicional

A probabilidade condicional, também chamada de probabilidade condicional, é uma medida estatística que indica a probabilidade de o evento A ocorrer se outro evento B ocorrer. Ou seja, a probabilidade condicional P(A|B) refere-se à probabilidade do evento A ocorrer após o evento B já ter ocorrido.

A probabilidade condicional do evento A dado evento B é igual à probabilidade da intersecção entre o evento A e o evento B dividida pela probabilidade do evento B. Portanto, a fórmula para a probabilidade condicional é a seguinte:

$P(A|B)=\cfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

➤ Veja: Exemplo de probabilidade condicional

Fórmula para a união de eventos

A união de dois eventos A e B é o conjunto de eventos que se encontram em A, em B ou em ambos. A união de dois eventos é expressa com o símbolo ⋃, assim, a união dos eventos A e B é escrita A⋃B.

A probabilidade de união de dois eventos é igual à probabilidade do primeiro evento, mais a probabilidade do segundo evento, menos a probabilidade de intersecção dos eventos.

Em outras palavras, a fórmula para a probabilidade de união de dois eventos é P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B).

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

No entanto, se os dois eventos forem incompatíveis, a interseção entre os dois eventos será zero. Portanto, a probabilidade de união de dois eventos incompatíveis é calculada somando a probabilidade de ocorrência de cada evento.

$\text{A y B son incompatibles} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P(A\cap B)=0$

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

➤ Veja: Exemplos de participação em eventos

Fórmula para interseção de eventos

A intersecção dos eventos A e B é formada por todos os eventos que pertencem a A e B ao mesmo tempo, é expressa pelo símbolo ⋂. Assim, a interseção dos eventos A e B é escrita A⋂B.

A probabilidade de intersecção de dois eventos é igual à probabilidade de um evento ocorrer vezes a probabilidade condicional de o outro evento ocorrer, dado o primeiro evento.

Portanto, a fórmula para a probabilidade de intersecção de dois eventos é P(A⋂B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B).

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)$

No entanto, se os dois eventos forem independentes, isso significa que a probabilidade de um evento ocorrer não depende da ocorrência do outro evento. Portanto, a fórmula para a probabilidade de intersecção dos dois eventos independentes é a seguinte:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

➤ Veja: Exemplos de intersecção de eventos

Fórmula para diferença de eventos

A probabilidade de diferença entre dois eventos refere-se à probabilidade de um evento ocorrer sem que o outro evento ocorra ao mesmo tempo.

Portanto, a probabilidade da diferença dos sucessos AB é igual à probabilidade do sucesso A menos a probabilidade da intersecção entre o sucesso A e o sucesso B. Portanto, a fórmula para a probabilidade da diferença dos sucessos é a seguinte:

$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$

Fórmula para o teorema da probabilidade total

O teorema da probabilidade total é uma lei que permite calcular a probabilidade de um evento que não faz parte de um espaço amostral a partir das probabilidades condicionais de todos os eventos nesse espaço amostral.

O teorema da probabilidade total diz que dado um conjunto de eventos {A ₁ , A ₂ ,…, A _n } que formam uma partição no espaço amostral, a probabilidade do evento B é igual à soma dos produtos da probabilidade de cada evento P(A _i ) pela probabilidade condicional P(B|A _i ).

Portanto, a fórmula para o teorema da probabilidade total é:

$\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n P(B|A_i)\cdot P(A_i)$

➤ Veja: Exemplo do teorema da probabilidade total

Fórmula do teorema de Bayes

Na teoria da probabilidade, o teorema de Bayes é uma lei usada para calcular a probabilidade de um evento quando informações a priori sobre esse evento são conhecidas.

O teorema de Bayes diz que dado um espaço amostral formado por um conjunto de eventos mutuamente exclusivos {A ₁ , A ₂ ,…, A _i ,…, A _n } cujas probabilidades não são zero e outro evento B, podemos relacionar matematicamente a condicional probabilidade de A _i dado o evento B com a probabilidade condicional de B dado A _i .

Portanto, a fórmula do teorema de Bayes é a seguinte:

$P(A_i|B)=\cfrac{P(B|A_i)\cdot P(A_i)}{\displaystyle \sum_{k=1}^n P(B|A_k)\cdot P(A_k)}$

➤ Veja: Exemplo do teorema de Bayes

Tabela resumo de todas as fórmulas de probabilidade

Por fim, deixamos uma tabela com todas as fórmulas de probabilidade como resumo.

➤ Veja: Fórmulas estatísticas

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Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais