Intervalo de confiança

By Agosto 3, 2023 Estatisticas 0 Comments

Este artigo explica o que é um intervalo de confiança nas estatísticas e para que ele é usado. Você também encontrará os fatores que influenciam os intervalos de confiança e como um intervalo de confiança é calculado.

O que é um intervalo de confiança?

Nas estatísticas, o intervalo de confiança é um intervalo que dá uma aproximação dos valores entre os quais o valor de um parâmetro populacional se vincula a um determinado nível de confiança. Os intervalos de confiança mais comuns têm um nível de confiança de 95% ou 99%.

Por exemplo, se o intervalo de confiança da média de uma população com nível de confiança de 95% for (3,7), isso significa que a média da população estudada estará entre 3 e 7 com probabilidade de 95%.

Portanto, o intervalo de confiança é usado para estimar dois valores entre os quais se encontra um parâmetro populacional. Geralmente, os valores dos parâmetros populacionais são desconhecidos, portanto, um intervalo de confiança é calculado a partir dos dados de uma amostra para se ter uma estimativa dos parâmetros populacionais.

Fatores que influenciam o intervalo de confiança

Depois de vermos a definição do intervalo de confiança, veremos quais são os fatores dos quais dependem os intervalos de confiança para melhor compreender o conceito.

  • Tamanho da amostra : o número de observações estudadas influencia na precisão do intervalo de confiança, pois quanto mais dados tivermos, mais um valor poderá ser estimado. Em geral, quanto maior o tamanho da amostra, menor será a largura do intervalo de confiança.
  • Margem de erro : quanto maior o erro permitido, maior o intervalo de confiança e, portanto, maior a probabilidade de o valor verdadeiro do parâmetro estar dentro do intervalo de confiança. Contudo, a margem de erro diminui a precisão do intervalo de confiança.
  • Nível de confiança : é a probabilidade de que a estimativa da estatística populacional esteja dentro do intervalo de confiança. Normalmente, o nível de confiança de um intervalo é indicado como 1-α e expresso como uma porcentagem. Um alto nível de confiança aumenta a probabilidade de que o valor verdadeiro esteja entre os limites do intervalo, mas também aumenta a largura do intervalo.
  • O parâmetro estimado : o intervalo de confiança depende do parâmetro a ser aproximado. Na verdade, a fórmula a utilizar para calcular o intervalo de confiança depende do parâmetro aproximado.

Como calcular o intervalo de confiança

A fórmula a aplicar para calcular cada tipo de intervalo de confiança é apresentada a seguir, pois dependendo se queremos determinar o intervalo de confiança para a média, variância ou proporção, a fórmula a utilizar é diferente.

Intervalo de confiança para a média

Partindo do fato de que o processo de digitação de uma variável é feito da seguinte forma:

Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)

O intervalo de confiança da média é calculado somando e subtraindo da média amostral o valor de Z α/2 multiplicado pelo desvio padrão (σ) e dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra (n). Portanto, a fórmula para calcular o intervalo de confiança da média é:

\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Para amostras grandes e nível de confiança de 95%, o valor crítico é Z α/2 = 1,96 e para nível de confiança de 99%, o valor crítico é Z α/2 = 2,576.

A fórmula acima é usada quando a variância populacional é conhecida. Porém, se a variância populacional for desconhecida, que é o caso mais comum, o intervalo de confiança para a média é calculado utilizando a seguinte fórmula:

\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)

Ouro:

  • \overline{x}

    é a média amostral.

  • t_{\alpha/2}

    é o valor da distribuição t de Student de n-1 graus de liberdade com probabilidade α/2.

  • s

    é o desvio padrão da amostra.

  • n

    é o tamanho da amostra.

intervalo de confiança

Intervalo de confiança para variância

Para calcular o intervalo de confiança para a variância de uma população, é utilizada a distribuição qui-quadrado. Mais especificamente, a fórmula para calcular o intervalo de confiança da variância é:

\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)

Ouro:

  • n

    é o tamanho da amostra.

  • s

    é o desvio padrão da amostra.

  • \chi_{n-1;\alpha/2}

    é o valor da distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade para uma probabilidade menor que α/2.

  • \chi_{n-1;1-\alpha/2}

    é o valor da distribuição Qui-quadrado com n-1 graus de liberdade para uma probabilidade superior a 1-α/2.

Intervalo de confiança para proporção

O intervalo de confiança para a proporção é calculado somando e subtraindo da proporção amostral o valor de Z α/2 multiplicado pela raiz quadrada da proporção amostral (p) multiplicado por 1-p e dividido pelo tamanho da amostra (n). Portanto, a fórmula para calcular o intervalo de confiança da proporção é:

\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)

Ouro:

  • p

    é a proporção da amostra.

  • n

    é o tamanho da amostra.

  • Z_{\alpha/2}

    é o quantil da distribuição normal padrão correspondente a uma probabilidade de α/2. Para amostras grandes e nível de confiança de 95% é geralmente próximo de 1,96 e para nível de confiança de 99% é geralmente próximo de 2,576.

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Dr. Benjamin Anderson
Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais

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