Intervalo de confiança para a diferença de médias

By Dr. benjamim anderson Agosto 3, 2023 Estatisticas 0 Comments

Este artigo explica o que é um intervalo de confiança para a diferença de médias nas estatísticas e para que ele é usado. Assim, você descobrirá como calcular o intervalo de confiança para a diferença de duas médias e um exercício resolvido passo a passo.

Qual é o intervalo de confiança para a diferença de médias?

O intervalo de confiança para a diferença de médias é um intervalo que fornece um valor máximo e um valor mínimo entre os quais o valor da diferença de médias de duas populações se encontra com um certo nível de confiança.

Por exemplo, se o intervalo de confiança para a diferença nas médias de duas populações com um nível de confiança de 95% for (3,5), isso significa que a diferença entre as médias das duas populações estará entre 3 e 5 com uma probabilidade de 95 %.

Portanto, nas estatísticas, o intervalo de confiança para a diferença de médias é usado para estimar dois valores entre os quais se encontra a diferença entre duas médias populacionais. Assim, utilizando dados de duas amostras, é possível aproximar a diferença entre as médias populacionais.

Fórmula de intervalo de confiança para diferença de médias

A fórmula para o intervalo de confiança para a diferença nas médias depende de as variâncias populacionais serem ou não conhecidas e, caso contrário, se as variâncias populacionais podem ou não ser consideradas iguais. . Veremos então como o intervalo de confiança para a diferença de médias é calculado em cada caso.

desvios conhecidos

A fórmula para calcular o intervalo de confiança para a diferença de médias quando as variâncias das duas populações são conhecidas com um nível de confiança de 1-α é a seguinte:

$\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}$

Ouro:

$\overline{x_i}$

é a média da amostra i.
$\sigma_i$

é o desvio padrão da população i.
$Z_{\alpha/2}$

é o valor da distribuição normal padrão com probabilidade α/2.
$n_i$

é o tamanho da amostra i.

Este caso é o menos comum, uma vez que o valor das variâncias populacionais é geralmente desconhecido.

variâncias desconhecidas e iguais

Quando as variâncias das duas populações são desconhecidas, mas podem ser estimadas como iguais, a fórmula para calcular o intervalo de confiança para a diferença de médias com um nível de confiança de 1-α é a seguinte:

$\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})\pm t_{\alpha/2}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}$

Ouro:

$\overline{x_i}$

é a média da amostra i.
$s_p$

é o desvio padrão combinado.
$t_{\alpha/2}$

é o valor da distribuição t de Student de n ₁ + n ₂ -2 graus de liberdade com probabilidade de α/2.
$n_i$

é o tamanho da amostra i.

Como neste caso se assume que as variâncias populacionais são equivalentes, o desvio padrão combinado é utilizado para calcular o intervalo de confiança, que é calculado com a seguinte fórmula:

$\displaystyle s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}$

Ouro

$s_i$

é o desvio padrão da amostra i.

Variações desconhecidas e diferentes

Quando as variâncias das duas populações são desconhecidas e não podem ser consideradas iguais, a fórmula para calcular o intervalo de confiança para a diferença de médias com um nível de confiança de 1-α é a seguinte:

$\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})\pm t_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}$

Ouro:

$\overline{x_i}$

é a média da amostra i.
$s_i$

é o desvio padrão da amostra i.
$t_{\alpha/2}$

é o valor da distribuição t de Student com probabilidade de α/2.
$n_i$

é o tamanho da amostra i.

Neste caso, os graus de liberdade da distribuição t de Student são calculados através da seguinte fórmula:

$\displaystyle GL=\frac{\displaystyle\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{s_1^2}{n_1}}{n_1-1}+\frac{\displaystyle\frac{s_2^2}{n_2}}{n_2-1}}$

Ouro

$s_i$

é o desvio padrão da amostra i.

➤ Veja: Fórmula do intervalo de confiança para a média

Exemplo concreto do intervalo de confiança para a diferença de médias

Depois de ver a definição do intervalo de confiança para a diferença de médias e quais são as diferentes fórmulas, veremos agora um exemplo concreto para terminar de assimilar como é calculado o intervalo de confiança para a diferença de duas médias.

Queremos estudar o efeito do tabaco no peso ao nascer das crianças. Para isso, são comparadas duas amostras: a primeira amostra é composta por crianças cujas mães não fumavam e a segunda amostra é composta por crianças cujas mães fumavam (os parâmetros da amostra estão indicados abaixo). Calcule o intervalo de confiança para a diferença de médias com um nível de confiança de 95%.
1. Mães não fumantes:
  $\overline{x_1}=3,1 \ kg \quad s_1=0,6 \ kg \quad n_1=39$
2. Mães fumantes:
  $\overline{x_2}=3,5 \ kg \quad s_2=0,4 \ kg\quad n_2=43$

Neste caso não conhecemos os valores das variâncias populacionais, porém, podemos assumir que as variâncias populacionais são equivalentes porque estamos lidando com duas populações com características muito semelhantes. Portanto, a fórmula do intervalo de confiança para a diferença de médias que devemos usar é:

$\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})\pm t_{\alpha/2}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}$

Assim, calculamos o desvio padrão combinado a partir dos desvios padrão das duas amostras:

$\begin{aligned}\displaystyle s_p&=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}\\[2ex]\displaystyle s_p&=\sqrt{\frac{(39-1)\cdot 0,6^2+(43-1)\cdot 0,4^2}{39+43-2}}\\[2ex]\displaystyle s_p&=0,50\end{aligned}$

Da mesma forma, devemos encontrar o valor da distribuição t de Student de 80 graus de liberdade com probabilidade de 2,5% na tabela de distribuição de probabilidade da distribuição t de Student :

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n_1+n_2-2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025|80}=1,990\end{array}$

Por fim, substituímos os dados na fórmula do intervalo de confiança para a diferença de médias e realizamos os cálculos:

$\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})\pm t_{\alpha/2}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}$

$\displaystyle (3,1-3,5)\pm 1,990\cdot 0,5\cdot\sqrt{\frac{1}{39}+\frac{1}{43}}$

$\displaystyle -0,4\pm 0,22$

O intervalo de confiança para a diferença nas médias do problema é, portanto, o seguinte:

$(-0,61,-0,18)$

➤ Veja: Contraste de hipóteses para diferença de médias

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Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais

Qual é o intervalo de confiança para a diferença de médias?

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Variações desconhecidas e diferentes

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