Lei de benford

Este artigo explica o que é a lei de Benford. Além disso, você poderá ver como a lei de Benford foi descoberta e quais são as aplicações desta lei estatística.

O que é a Lei de Benford?

A lei de Benford , também chamada de lei do primeiro dígito , é uma lei estatística que diz que a probabilidade de o primeiro dígito de um dado ser 1 é maior do que a probabilidade de ser outro número.

Em outras palavras, a lei de Benford diz que em um conjunto de dados numéricos existentes na vida real, o número 1 é o número mais repetido como primeiro dígito dos dados.

Além disso, quanto maior o número, menor a probabilidade de terminar em primeiro lugar. Portanto, é mais provável que o primeiro número seja 1 do que 2, mas 2 é mais provável que 3, 3 é mais provável que 4 e assim por diante.

A lei de Benford deve seu nome ao americano Frank Benford. Embora não a tenha inventado, Benford popularizou esta regra estatística. Abaixo veremos a origem da lei de Benford.

Fórmula da Lei de Benford

A Lei de Benford afirma que a probabilidade de o primeiro dígito ser um determinado número é igual ao logaritmo de um mais um sobre esse número.

A fórmula da lei de Benford é, portanto, a seguinte:

Portanto, a partir da fórmula da lei de Benford, podemos derivar a probabilidade de cada número ser o primeiro dígito de um item de dados. Na tabela a seguir você pode ver as porcentagens de todas as probabilidades:

Além disso, abaixo você pode ver um histograma no qual todas as probabilidades da lei de Benford são representadas graficamente:

História da Lei de Benford

Em 1881, o matemático Simon Newcomb deduziu a lei de Benford quando descobriu que as primeiras páginas das tabelas de logaritmos eram consideravelmente mais utilizadas do que as últimas páginas. O que significava que os primeiros dígitos dos números não são igualmente prováveis, mas que 1 era mais frequente que 2, 2 mais frequente que 3 e assim por diante até 9.

No entanto, Newcomb não deixou nenhuma evidência estatística de que esta regra foi seguida, ele simplesmente fez uma dedução do desgaste das tabelas logarítmicas.

Mais tarde, especificamente em 1938, o físico Frank Benford fez a mesma observação e também realizou um experimento para verificá-la empiricamente. Em um conjunto de dados estatísticos de 20.229 valores de 20 amostras diferentes, ele realizou um estudo no primeiro dígito de cada dado. Assim, com base nos resultados, demonstrou que a lei de Benford se cumpria e deduziu a fórmula que lhe permitiu calcular a probabilidade do primeiro dígito ser um determinado número (vimos esta fórmula acima).

Em suma, embora a Lei de Benford tenha sido descoberta pela primeira vez por Simon Newcomb, ela recebeu o nome de Frank Benford porque foi ele quem verificou esta lei estatística.

Aplicações da Lei de Benford

A lei de Benford é uma lei estatística que encontra aplicações em campos muito diferentes. Por exemplo, a lei de Benford é amplamente utilizada em economia, biologia e até política.

Em economia, a lei de Benford é frequentemente utilizada para detectar manipulação de dados, porque se um conjunto de dados não estiver em conformidade com a lei de Benford, indica que os dados foram manipulados. Esta lei é utilizada, por exemplo, para detectar possíveis casos de fraude fiscal.

Deve-se notar que a lei de Benford não é usada para demonstrar a verdade de fenômenos aleatórios, uma vez que os resultados são equiprováveis. Assim, a regra de Benford não pode ser usada para verificar resultados de loteria.

Por outro lado, em genética, a lei de Benford pode ser usada para analisar diferenças no comprimento do genoma entre diferentes tipos de organismos.

Finalmente, também foram feitas tentativas para detectar a fraude eleitoral através da aplicação da lei de Benford, embora a sua utilidade neste caso tenha sido questionada.