Lei dos grandes números

Neste artigo explicamos o que é a lei dos grandes números e para que ela é usada em probabilidade e estatística. Você também poderá ver um exemplo de aplicação da lei dos grandes números e, além disso, qual a relação entre esta lei e o teorema central do limite.

Qual é a lei dos grandes números?

Na teoria das probabilidades, a lei dos grandes números é uma regra que descreve o resultado de fazer um grande número de vezes. Mais especificamente, a lei dos grandes números diz que a média dos resultados obtidos em um grande número de tentativas estará próxima do valor esperado.

Além disso, de acordo com a lei dos grandes números, quanto mais experiências fizermos, mais próximos os resultados estarão do valor esperado.

Por exemplo, se jogarmos uma moeda cinco vezes, só poderemos obter cara uma vez (20%). No entanto, se a moeda for lançada várias vezes (mais de 1000 lançamentos), quase metade dos resultados serão caras (50%), uma vez que este é o seu valor esperado. Este é um exemplo da lei dos grandes números.

A origem da lei dos grandes números encontra-se no século XVI com Gerolamo Cardano, porém muitos autores participaram do desenvolvimento desta lei estatística ao longo da história: Bernoulli, Poisson, Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli, Kolmogorov e Khinchin.

Exemplo da lei dos grandes números

Depois de ver a definição da lei dos grandes números, veremos um exemplo concreto para entender melhor o seu significado. Neste caso analisaremos as probabilidades dos possíveis resultados que podemos obter ao lançar um dado.

Existem seis resultados possíveis ao lançar um dado (1, 2, 3, 4, 5 e 6), então a probabilidade teórica de cada evento elementar é:

Então simularemos várias vezes o lançamento e registraremos os resultados em uma tabela de frequência para verificar se a lei dos grandes números é respeitada.

Para que vocês percebam a importância do número de experimentos realizados, vamos simular primeiro dez lançamentos, depois cem e por fim mil. Assim, os resultados obtidos na simulação de 10 lançamentos aleatórios de dados são os seguintes:

Como você pode ver, as probabilidades de frequência obtidas simulando apenas dez lances não se assemelham às probabilidades teóricas.

Mas à medida que aumentamos o número de experimentos, essas duas métricas ficam mais parecidas, veja a simulação de 100 lançamentos:

Agora a probabilidade de frequência calculada para cada número no dado é mais semelhante à sua probabilidade teórica, porém, ainda obtemos valores muito diferentes.

Por fim, fazemos o mesmo procedimento, mas simulando 1000 lançamentos:

Como podemos ver na última tabela, agora os valores das probabilidades de frequência estão muito próximos das probabilidades teóricas.

Em resumo, quanto mais aumentamos o número de experimentos realizados, mais o valor da probabilidade de frequência de um evento se aproxima da sua probabilidade teórica de ocorrência. Portanto, a lei dos grandes números é respeitada, pois quanto mais iterações realizamos, mais semelhantes são os valores experimentais aos valores teóricos.

Limitação da lei dos grandes números

A lei dos grandes números é válida na grande maioria dos casos, no entanto, certos tipos de distribuições de probabilidade não satisfazem este teorema estatístico.

Por exemplo, a distribuição de Cauchy ou a distribuição de Pareto (α<1) não convergem à medida que o número de tentativas aumenta. Isto se deve às grandes caudas das distribuições, o que significa que elas não têm valor esperado.

Por outro lado, alguns experimentos são tendenciosos devido às suas características, de modo que o pesquisador tende a modificar os resultados (intencionalmente ou não) por razões racionais, psicológicas, econômicas, etc. razões. Nestes casos, a lei dos grandes números não ajuda a resolver o preconceito, mas o preconceito persistirá independentemente do aumento do número de tentativas.

Lei dos grandes números e teorema do limite central

A lei dos grandes números e o teorema do limite central são duas regras fundamentais de probabilidade e estatística intimamente relacionadas. Portanto, nesta seção veremos qual é o relacionamento deles e qual é a diferença.

O teorema do limite central, também chamado de teorema do limite central, diz que a distribuição das médias amostrais se aproxima de uma distribuição normal à medida que o tamanho da amostra aumenta, independentemente da distribuição de probabilidade da população.

A diferença entre a lei dos grandes números e o teorema do limite central é que a lei dos grandes números diz que a média de um grande número de tentativas está próxima do seu valor esperado, mas o teorema do limite central diz que a média de muitos dos amostras se aproximam de uma distribuição normal.