Linha de regressão

By Dr. benjamim anderson Agosto 2, 2023 Estatisticas 0 Comments

Este artigo explica o que é linha de regressão nas estatísticas. Assim, você encontrará como calcular a reta de regressão entre duas variáveis, um exercício resolvido e, além disso, uma calculadora online para calcular a reta de regressão para qualquer amostra de dados.

Qual é a linha de regressão?

Em estatística, a reta de regressão é a reta obtida a partir de um modelo de regressão linear simples . Mais precisamente, a linha de regressão é a linha que melhor se ajusta a um gráfico de dispersão e, portanto, descreve melhor um conjunto de dados estatísticos.

Assim, a equação da linha de regressão relaciona matematicamente a variável independente X e a variável dependente Y de um conjunto de dados. Embora a linha de regressão geralmente não seja capaz de determinar com precisão o valor de cada observação, ela pode fornecer uma aproximação do seu valor.

Como você pode ver no gráfico anterior, a linha de regressão nos ajuda a ver a tendência de um conjunto de dados e que tipo de relacionamento existe entre a variável independente e a variável dependente. Abaixo veremos as aplicações da linha de regressão.

Fórmula da linha de regressão

Agora que sabemos a definição da reta de regressão, vamos ver como calcular a equação da reta de um modelo de regressão linear.

Como qualquer reta, a equação da reta de regressão é composta por uma constante (b ₀ ) e uma inclinação (b ₁ ):

$y=b_0+b_1x$

Assim, as fórmulas para cálculo dos coeficientes da reta de regressão linear são as seguintes:

$\begin{array}{c}b_1=\cfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}\\[12ex]b_0=\overline{y}-b_1\overline{x}\end{array}$

Ouro:

$b_0$

é a constante da linha de regressão.
$b_1$

é a inclinação da linha de regressão.
$x_i$

é o valor da variável independente X dos dados i.
$y_i$

é o valor da variável dependente Y dos dados i.
$\overline{x}$

é a média dos valores da variável independente
$\overline{y}$

é a média dos valores da variável dependente Y.

👉 Você pode usar a calculadora abaixo para calcular a linha de regressão para qualquer conjunto de dados.

Exemplo concreto da linha de regressão

Para explorar mais o conceito de linha de regressão, abaixo está um exemplo prático de como criar uma linha de regressão.

Após a realização de uma prova de estatística, cinco alunos foram questionados sobre quantas horas de estudo dedicaram à prova, os dados estão apresentados na tabela abaixo. Calcule a reta de regressão a partir dos dados estatísticos coletados para relacionar linearmente as horas de estudo com a nota obtida. A seguir, determine qual será a nota obtida por um aluno que estudou 8 horas.

Para encontrar a reta de regressão dos dados amostrais, precisamos determinar os coeficientes b ₀ e b ₁ da equação e, para isso, precisamos utilizar as fórmulas vistas na seção acima.

Porém, para aplicar as fórmulas da reta de regressão linear, devemos primeiro calcular a média da variável independente e a média da variável dependente:

$\begin{array}{c}\overline{x}=\cfrac{11+5+10+12+7}{5}=9\\[4ex]\overline{y}=\cfrac{7+4+5+8+6}{5}=6\end{array}$

Agora que conhecemos as médias das variáveis, calculamos o coeficiente b ₁ do modelo utilizando sua fórmula correspondente:

$\begin{array}{c}b_1=\cfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}\\[10ex] b_1=\cfrac{\begin{array}{c}(11-9)(7-6)+(5-9)(4-6)+(10-9)(5-6)+\\+(12-9)(8-6)+(7-9)(6-6)\end{array}}{(11-9)^2+(5-9)^2+(10-9)^2+(12-9)^2+(7-9)^2}\\[6ex]b_1=0,4412\end{array}$

Por fim, calculamos o coeficiente b ₀ do modelo utilizando sua fórmula correspondente:

$\begin{array}{l}b_0=\overline{y}-b_1\overline{x}\\[3ex]b_0=6-0,4412\cdot 9 \\[3ex]b_0=2,0294\end{array}$

Resumindo, a equação da reta de regressão linear do problema é a seguinte:

$y=2,0294+0,4412x$

Abaixo você pode ver a representação gráfica dos dados amostrais, bem como a reta do modelo de regressão linear simples:

Uma vez calculada a reta de regressão, para prever a nota que obterá um aluno que estudou 8 horas, basta substituir este valor na equação da reta de regressão obtida:

$y=2,0294+0,4412\cdot 8=5,56$

Assim, de acordo com o modelo de regressão linear realizado, se um aluno estudou oito horas, obterá nota 5,56 no exame.

Para que serve uma linha de regressão?

Principalmente, a linha de regressão tem duas utilizações: a linha de regressão é usada para determinar que tipo de relação existe entre duas variáveis e, por outro lado, a linha de regressão também permite fazer uma previsão sobre o valor de uma nova observação.

A inclinação da linha de regressão nos diz como é a correlação entre a variável independente e a variável dependente. Se a inclinação for positiva, significa que a variável dependente é diretamente proporcional à variável independente, enquanto se a inclinação for negativa, implica que as variáveis são inversamente proporcionais. Finalmente, se o coeficiente de inclinação estiver muito próximo de zero, isso significa que a correlação entre as duas variáveis é muito fraca.

Além disso, se a equação da reta de regressão for conhecida, o valor da variável dependente pode ser previsto para um novo valor da variável independente, como fizemos no exemplo acima. Assim, quanto melhor a linha de regressão for adaptada, melhores serão as previsões que ela fará.

Calculadora de linha de regressão

Insira uma amostra de dados na calculadora a seguir para calcular a linha de regressão entre as duas variáveis. É necessário separar os pares de dados, para que na primeira caixa existam apenas os valores da variável independente X e na segunda caixa existam apenas os valores da variável dependente Y.

Os dados devem ser separados por espaço e inseridos usando o ponto final como separador decimal.

About Author

Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais