Medidas de forma

By Dr. benjamim anderson Agosto 4, 2023 Estatisticas 0 Comments

Este artigo explica o que são medidas de forma. Assim, você aprenderá para que servem as métricas de forma, como as métricas de forma são interpretadas e como esses tipos de métricas estatísticas são calculados.

O que são medidas de forma?

Nas estatísticas, as medidas de forma são indicadores que nos permitem descrever uma distribuição de probabilidade de acordo com a sua forma. Ou seja, as medidas de forma são usadas para determinar a aparência de uma distribuição sem a necessidade de representá-la graficamente.

Existem dois tipos de medidas de forma: assimetria e curtose. A assimetria indica quão simétrica é uma distribuição, enquanto a curtose indica quão concentrada uma distribuição está em torno de sua média.

Quais são as medidas da forma?

Considerando a definição de medidas de forma, esta seção mostra o que são esses tipos de parâmetros estatísticos.

Nas estatísticas, distinguimos duas medidas de forma:

Skewness : Indica se uma distribuição é simétrica ou assimétrica.
Curtose – Indica se uma distribuição é íngreme ou plana.

Assimetria

Existem três tipos de assimetria :

Assimetria positiva : A distribuição tem mais valores diferentes à direita da média do que à sua esquerda.
Simetria : A distribuição tem o mesmo número de valores à esquerda da média e à direita da média.
Assimetria negativa : A distribuição tem mais valores diferentes à esquerda da média do que à sua direita.

coeficiente de assimetria

O coeficiente de assimetria , ou índice de assimetria , é um coeficiente estatístico que ajuda a determinar a assimetria de uma distribuição. Assim, calculando o coeficiente de assimetria, é possível saber o tipo de assimetria da distribuição sem ter que fazer uma representação gráfica da mesma.

Embora existam diferentes fórmulas para calcular o coeficiente de assimetria, e veremos todas a seguir, independente da fórmula utilizada, a interpretação do coeficiente de assimetria é sempre feita da seguinte forma:

Se o coeficiente de assimetria for positivo, a distribuição será positivamente assimétrica .
Se o coeficiente de assimetria for zero, a distribuição é simétrica .
Se o coeficiente de assimetria for negativo, a distribuição será distorcida negativamente .

Coeficiente de assimetria de Fisher

O coeficiente de assimetria de Fisher é igual ao terceiro momento em relação à média dividido pelo desvio padrão da amostra. Portanto, a fórmula do coeficiente de assimetria de Fisher é:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

Equivalentemente, qualquer uma das duas fórmulas a seguir pode ser usada para calcular o coeficiente de Fisher:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

Ouro

$E$

é a expectativa matemática,

$\mu$

a média aritmética,

$\sigma$

o desvio padrão e

$N$

o número total de dados.

Por outro lado, se os dados estiverem agrupados você pode usar a seguinte fórmula:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

Onde neste caso

$x_i$

É a marca da classe e

$f_i$

a frequência absoluta do curso.

Coeficiente de assimetria de Pearson

O coeficiente de assimetria de Pearson é igual à diferença entre a média amostral e a moda dividida pelo seu desvio padrão (ou desvio padrão). A fórmula para o coeficiente de assimetria de Pearson é, portanto, a seguinte:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

Ouro

$A_p$

é o coeficiente de Pearson,

$\mu$

a média aritmética,

$Mo$

moda e

$\sigma$

o desvio padrão.

Tenha em mente que o coeficiente de assimetria de Pearson só pode ser calculado se for uma distribuição unimodal, ou seja, se houver apenas uma moda nos dados.

Coeficiente de assimetria de Bowley

O coeficiente de assimetria de Bowley é igual à soma do terceiro quartil mais o primeiro quartil menos duas vezes a mediana dividida pela diferença entre o terceiro e o primeiro quartis. A fórmula para este coeficiente de assimetria é, portanto, a seguinte:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

Ouro

$Q_1$

$Q_3$

são respectivamente o primeiro e terceiro quartis e

$Me$

é a mediana da distribuição.

Achatamento

A curtose , também chamada de assimetria , indica o quão concentrada uma distribuição está em torno de sua média. Em outras palavras, a curtose indica se uma distribuição é íngreme ou plana. Especificamente, quanto maior a curtose de uma distribuição, mais acentuada (ou mais nítida) ela é.

Existem três tipos de bajulação :

Leptocúrtica : a distribuição é muito pontiaguda, ou seja, os dados estão fortemente concentrados em torno da média. Mais precisamente, as distribuições leptocúrticas são definidas como distribuições mais nítidas do que a distribuição normal.
Mesocúrtica : A curtose da distribuição é equivalente à curtose da distribuição normal. Portanto, não é considerado pontiagudo nem achatado.
Platicúrtica : a distribuição é muito achatada, ou seja, a concentração em torno da média é baixa. Formalmente, as distribuições platicúrticas são definidas como distribuições mais planas do que a distribuição normal.

Observe que os diferentes tipos de curtose são definidos tomando como referência a curtose da distribuição normal.

Coeficiente de achatamento

A fórmula para o coeficiente de curtose é a seguinte:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

A fórmula do coeficiente de curtose para dados agrupados em tabelas de frequência :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Por fim, a fórmula do coeficiente de curtose para dados agrupados em intervalos :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(c_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Ouro:

$g_2$

é o coeficiente de curtose.
$N$

é o número total de dados.
$x_i$

é o i-ésimo dado da série.
$\mu$

é a média aritmética da distribuição.
$\sigma$

é o desvio padrão (ou desvio típico) da distribuição.
$f_i$

é a frequência absoluta do conjunto de dados it.
$c_i$

é a nota da classe do i-ésimo grupo.

Observe que em todas as fórmulas do coeficiente de curtose, 3 é subtraído porque é o valor de curtose da distribuição normal. Assim, o cálculo do coeficiente de curtose é feito tomando como referência a curtose da distribuição normal. É por isso que às vezes nas estatísticas se diz que se calcula uma curtose excessiva .

Uma vez calculado o coeficiente de curtose, ele deve ser interpretado da seguinte forma para identificar que tipo de curtose se trata:

Se o coeficiente de curtose for positivo, significa que a distribuição é leptocúrtica .
Se o coeficiente de curtose for zero, significa que a distribuição é mesocúrtica .
Se o coeficiente de curtose for negativo, significa que a distribuição é platicúrtica .

Outros tipos de medidas estatísticas

Você também pode estar interessado em qualquer uma das seguintes medidas estatísticas. Clique em uma para ver o que são e como são calculadas.

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Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais

O que são medidas de forma?

Quais são as medidas da forma?

Assimetria

coeficiente de assimetria

Coeficiente de assimetria de Fisher

Coeficiente de assimetria de Pearson

Coeficiente de assimetria de Bowley

Achatamento

Coeficiente de achatamento

Outros tipos de medidas estatísticas

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