Moda (estatísticas)

By Dr. benjamim anderson Agosto 5, 2023 Estatisticas 0 Comments

Este artigo explica qual é o modo nas estatísticas. Você aprenderá como encontrar o modo estatístico para dados agrupados e dados desagrupados, os diferentes tipos de modo e vários exemplos desta medida estatística.

O que é modo nas estatísticas?

Nas estatísticas, a moda é o valor no conjunto de dados que possui a maior frequência absoluta, ou seja, a moda é o valor mais repetido em um conjunto de dados.

Portanto, para calcular a moda de um conjunto de dados estatísticos, basta contar o número de vezes que cada elemento de dados aparece na amostra, e os dados mais repetidos serão a moda.

A moda é usada para definir uma distribuição estatística, pois o valor mais repetido geralmente está no centro da distribuição.

O modo também pode ser considerado modo estatístico ou valor modal . Da mesma forma, quando os dados são agrupados em intervalos, o intervalo mais repetido é o intervalo modal ou classe modal .

Em geral, o termo Mo é usado como símbolo para o modo estatístico, por exemplo, o modo de distribuição X é Mo(X).

Tenha em mente que a moda é uma medida estatística da posição central, bem como da mediana e da média. A seguir veremos o que significa cada uma dessas medidas estatísticas.

Tipos de modo em estatísticas

Nas estatísticas, existem vários tipos de modos que são classificados de acordo com o número de valores mais repetidos:

Modo Unimodal : existe apenas um valor com o número máximo de repetições. Por exemplo, [1, 4, 2, 4, 5, 3].
Modo bimodal : O número máximo de repetições ocorre em dois valores diferentes, e ambos os valores são repetidos o mesmo número de vezes. Por exemplo, [2, 6, 7, 2, 3, 6, 9].
Modo multimodal : Três ou mais valores possuem o mesmo número máximo de repetições. Por exemplo, [3, 3, 4, 1, 3, 4, 2, 1, 4, 5, 2, 1].

Como encontrar o modo estatístico

Para encontrar o modo estatístico de um conjunto de dados, você deve seguir as seguintes etapas:

Coloque os dados em ordem. Esta etapa não é obrigatória, mas facilitará a contagem dos números.
Conte quantas vezes cada número aparece.
O número que aparece com mais frequência é o modo estatístico.

Exemplos de modo estatístico

Considerando a definição de moda nas estatísticas, abaixo você confere um exemplo de cada tipo de moda para que você possa entender melhor o conceito.

Exemplo de modo unimodal

Qual é a moda do seguinte conjunto de dados?

$5 \ 4 \ 9 \ 7 \ 2 \ 3 \ 9 \ 6 \ 5 \ 2 \ 5$

Os números não estão ordenados, então vamos ordená-los primeiro para facilitar a localização da moda.

$2 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 5 \ 5 \ 6 \ 7 \ 9 \ 9$

Os números 2 e 9 aparecem duas vezes, mas o número 5 se repete três vezes. Portanto, a moda da série de dados é o número 5.

$Mo=5$

Exemplo de modo bimodal

Calcule a moda do seguinte conjunto de dados:

$8 \ 7 \ 0 \ 6 \ 10 \ 9 \ 13 \ 8 \ 0 \ 6 \ 2 \ 6 \ 5 \ 11 \ 10$

$0 \ 9 \ 8 \ 6 \ 12 \ 3 \ 5 \ 11 \ 1 \ 4 \ 8 \ 10 \ 2 \ 5 \ 7$

Primeiro colocamos os números em ordem:

$0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 2 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 5 \ 5 \ 6 \ 6 \ 6 \ 6$

$7 \ 7 \ 8 \ 8 \ 8 \ 8 \ 9 \ 9 \ 10 \ 10 \ 10 \ 11 \ 11 \ 12 \ 13$

Como você pode ver, o número 6 e o número 8 aparecem quatro vezes no total, que é o número máximo de repetições. Portanto, neste caso é um modo bimodal e os dois números são a moda do conjunto de dados:

$Mo=\{ 6 \ ; \ 8\}$

Exemplo de modo multimodal

Encontre o seguinte modo de conjunto de dados:

$21 \ 27 \ 32 \ 15 \ 13 \ 20 \ 21 \ 21 \ 25 \ 27 \ 31 \ 30 \ 19 \ 20 \ 16$

$22 \ 19 \ 20 \ 31 \ 18 \ 20 \ 25 \ 26 \ 15 \ 20 \ 31 \ 31 \ 27 \ 16 \ 17$

$31 \ 27 \ 24 \ 23 \ 21 \ 27 \ 29 \ 36 \ 32 \ 30 \ 16 \ 22 \ 15 \ 14 \ 37$

Como há muitos dados, primeiro os classificamos em ordem crescente para facilitar a contagem:

$13 \ 14 \ 15\ 15\ 15 \ 16 \ 16 \ 16 \ 17 \ 18 \ 19 \ 19 \ 20 \ 20 \ 20$

$20 \ 20 \ 21 \ 21 \ 21\ 21 \ 22 \ 22 \ 23 \ 24 \ 25 \ 25 \ 26 \ 27 \ 27$

$27 \ 27 \ 27 \ 29 \ 30 \ 30 \ 31 \ 31 \ 31 \ 31 \ 31 \ 32 \ 32 \ 36 \ 37$

Os números mais repetidos são 20, 27 e 31, todos os três números são repetidos cinco vezes. O modo deste exemplo é, portanto, multimodal.

$Mo=\{ 20 \ ; \ 27 \ ; \ 31\}$

calculadora de moda

Insira dados de qualquer amostra estatística na calculadora on-line a seguir para calcular sua moda. Os dados devem ser separados por espaço e inseridos usando o ponto final como separador decimal.

Modo para dados agrupados

Quando temos dados agrupados na forma de intervalos, não sabemos realmente quantas vezes cada dado se repete, apenas sabemos a frequência de cada intervalo.

Assim, para calcular a moda dos dados agrupados em intervalos, devemos utilizar a seguinte fórmula :

$Mo=L_i+ \cfrac{f_i-f_{i-1}}{(f_i-f_{i-1})+(f_i-f_{i+1})}\cdot A_i$

Ouro:

L _i é o limite inferior do intervalo modal (maior intervalo de frequência absoluta).
f _i é a frequência absoluta do intervalo modal.
f _i-1 é a frequência absoluta do intervalo antes do modal.
f _i+1 é a frequência absoluta do intervalo após o modal.
A _i é a largura do intervalo modal.

A título de exemplo, a seguir você resolveu um exercício no qual é calculada a moda dos dados agrupados em intervalos:

exemplo de modo estatístico para dados agrupados

Neste caso, o intervalo modal é [40,45), pois é o intervalo com maior frequência absoluta. Portanto, os parâmetros da fórmula de modo para dados agrupados são:

$\begin{array}{c}L_i=40\\[2ex]f_i=11\\[2ex]f_{i-1}=10\\[2ex]f_{i+1}=6\\[2ex]A_i=5\end{array}$

Portanto, aplicamos a fórmula para determinar a moda dos dados agrupados em intervalos e fazemos o cálculo:

$\begin{aligned}Mo & =L_i+ \cfrac{f_i-f_{i-1}}{(f_i-f_{i-1})+(f_i-f_{i+1})}\cdot A_i\\[2ex]& =40+ \cfrac{11-10}{(11-10)+(11-6)}\cdot 5\\[2ex]&=40,83\end{aligned}$

Diferença entre moda, média e mediana

Nesta última seção veremos qual é a diferença entre a moda, a média e a mediana. Dado que todos os três são medidas estatísticas de posição central, o seu significado é diferente.

Conforme explicado ao longo do artigo, a moda em matemática é o valor mais repetido em um conjunto de dados.

Em segundo lugar, a média é o valor médio de todos os dados estatísticos. Assim, para obter a média de determinados dados, deve-se somar todos os dados e depois dividir o resultado pelo número de observações.

E por fim, a mediana é o valor que ocupa a posição central quando os dados são ordenados.

Assim, as três medidas estatísticas ajudam a definir uma distribuição de probabilidade, pois dão uma ideia dos seus valores centrais. Mas lembre-se de que não existe uma medida melhor que outra, apenas significam conceitos diferentes.

Propriedades da moda

As propriedades da moda são:

A moda pode ser encontrada tanto em variáveis quantitativas quanto em variáveis qualitativas.
Se aplicarmos uma transformação linear a uma variável aleatória, o valor da média mudará dependendo das operações aplicadas.

$Mo(X)=Y \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ M(aX+b)=aY+b$

Em geral, o modo é insensível a valores discrepantes.
Se todos os valores tiverem a mesma frequência, não existe moda.

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Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais