Operações com eventos

By Dr. benjamim anderson Agosto 6, 2023 Probabilidade 0 Comments

Aqui explicamos quais operações podem ser realizadas com eventos e como é calculado cada tipo de operação com eventos. Além disso, você pode praticar exercícios passo a passo sobre operações com eventos.

Tipos de operações com eventos

Na teoria das probabilidades, existem três tipos de operações com eventos, que são:

União de eventos : é a probabilidade de ocorrer um evento ou outro.
Interseção de eventos : é a probabilidade conjunta de dois ou mais eventos.
Diferença de evento : Esta é a probabilidade de um evento ocorrer, mas outro evento não ocorrer ao mesmo tempo.

Simplesmente definindo cada tipo de operação de evento, fica difícil entender como cada tipo de operação é executado. Portanto, explicaremos as três operações com mais detalhes a seguir.

união de eventos

A união de dois eventos A e B é a probabilidade de que o evento A, o evento B ou ambos os eventos ocorram ao mesmo tempo.

O símbolo da união de dois eventos diferentes é um U, portanto a união de dois eventos é expressa por um U no meio das duas letras que representam os eventos.

$A\cup B$

A probabilidade de união de dois eventos é igual à soma da probabilidade de ocorrência de cada evento menos a probabilidade de intersecção dos dois eventos.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Por exemplo, calcularemos a probabilidade dos eventos “rolar um número par” ou “rolar um número maior que 4” ao lançar um dado.

Existem três possibilidades de obter um número par ao lançar o dado (2, 4 e 6), então a probabilidade do evento ocorrer é:

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

Por outro lado, existem apenas dois números maiores que quatro (5 e 6), a sua probabilidade é portanto:

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

E a intersecção dos dois eventos corresponde aos números que aparecem em ambos os eventos, então:

$A\cap B=\{6\}$

$P(A\cap B)=\cfrac{1}{6}=0,167$

Resumindo, juntando os eventos A e B, a probabilidade de ocorrência será:

$\begin{aligned}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5+0,33-0,167\\[2ex] &=0,67\end{aligned}$

interseção de eventos

A interseção de dois eventos A e B é a probabilidade de que ambos os eventos A e B ocorram ao mesmo tempo.

O símbolo da intersecção de dois eventos é representado por um U invertido.

$A\cap B$

A probabilidade de intersecção de dois eventos é igual ao produto das probabilidades de cada evento separadamente.

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Obviamente, para calcular a probabilidade de intersecção de dois eventos, estes dois eventos devem ser compatíveis.

➤ Veja: Quais eventos são compatíveis?

Como exemplo, encontraremos a probabilidade de os eventos “obter um número par” e “obter um número maior que 4” se cruzarem durante o lançamento de um dado.

Como calculamos acima, a probabilidade de cada evento ocorrer separadamente é:

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

Assim, a probabilidade de intersecção dos dois eventos será a multiplicação das probabilidades de cada evento:

$\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,5\cdot 0,33\\[2ex] &=0,167\end{aligned}$

diferença de eventos

A diferença de dois eventos A menos B corresponde a todos os eventos elementares de A que não estão em B. Em outras palavras, na diferença de dois eventos A menos B, o evento A é satisfeito, mas o evento B não pode ser satisfeito simultaneamente.

$A-B$

A probabilidade de diferença entre dois eventos A e B é igual à probabilidade de ocorrência do evento A menos a probabilidade de ocorrência de eventos elementares compartilhada por A e B.

$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$

Seguindo o mesmo exemplo dos dois tipos de operações anteriores, determinaremos a probabilidade de isso acontecer a partir da diferença do evento “obter um número par” menos “obter um número maior que 4” no lançamento dos dados.

As probabilidades de ocorrência dos eventos A, B e sua interseção são as seguintes (você pode ver o cálculo detalhado acima):

$A=\{2,4,6\}$

$P(A)=\cfrac{3}{6}=0,5$

$B=\{5,6\}$

$P(B)=\cfrac{2}{6}=0,33$

$A\cap B= \{6\}$

$P(A\cap B)=\cfrac{1}{6}= 0,167$

A probabilidade de a diferença entre os dois eventos aparecer é, portanto:

$\begin{aligned}P(A-B)&=P(A)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5-0,167\\[2ex] & =0,33\end{aligned}$

A título de curiosidade, a diferença dos acontecimentos AB tem a propriedade de também ser equivalente à intersecção entre o acontecimento A e o acontecimento complementar (ou oposto) de B.

$A-B=A\cap\overline{B}$

➤ Veja: O que é evento complementar?

Exercícios resolvidos sobre operações com eventos

Exercício 1

Se você lançar um dado de seis faces, qual é a probabilidade de obter um número ímpar ou menor que 3?

veja a solução

Neste exercício devemos calcular a probabilidade de ocorrer um evento ou outro, portanto devemos encontrar a probabilidade de união dos dois eventos.

Portanto, primeiro calculamos a probabilidade de obter um número ímpar aplicando a lei de Laplace:

$P(\text{n\'umero impar})=\cfrac{3}{6}=0,5$

Em segundo lugar, determinamos a probabilidade de obter um número menor que 3:

$P(\text{n\'umero menor que 3})=\cfrac{2}{6}=0,33$

Agora vamos calcular a probabilidade de eventos elementares que se repetem em eventos, que é apenas o número 1 (apenas ímpar menor que 3):

$P(\text{n\'umero impar y menor que 3})=\cfrac{1}{6}=0,167$

E por fim, aplicamos a fórmula da união de dois eventos para descobrir sua probabilidade:

$\begin{aligned}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[2ex] & =0,5+0,33-0,167\\[2ex] &=0,67\end{aligned}$

Exercício 2

Numa caixa colocamos 3 bolas laranja, 2 bolas azuis e 5 bolas brancas. Fazemos a experiência aleatória de pegar uma bola, colocá-la de volta na caixa e depois remover outra bola. Qual é a probabilidade de tirar uma bola azul na primeira e uma bola laranja na segunda?

veja a solução

Para resolver este problema, devemos calcular a intersecção dos dois acontecimentos, porque queremos que ambos os acontecimentos elementares sejam verdadeiros.

Portanto, primeiro calculamos a probabilidade de pegar uma bola azul aplicando a regra de Laplace:

$P(\text{sacar bola azul})=\cfrac{2}{3+2+5}=0,2$

Encontramos então a probabilidade de obter uma bola laranja:

$P(\text{sacar bola naranja})=\cfrac{3}{3+2+5}=0,3$

E, por fim, calculamos a probabilidade de intersecção dos dois eventos multiplicando as duas probabilidades encontradas:

$\begin{aligned}P(A\cap B)& =P(A)\cdot P(B)\\[2ex] & =0,2\cdot 0,3\\[2ex] &=0,06\end{aligned}$

Concluindo, há apenas 6% de chance de pegar uma bola azul na primeira tentativa e uma bola laranja na segunda tentativa.

Exercício 3

A probabilidade de Marta passar em um exame é de 1/3 e a probabilidade de Juan passar no mesmo exame é de 2/5. Qual é a probabilidade de Marta ter sucesso e Juan falhar?

veja a solução

Neste exercício precisamos calcular a diferença entre os dois eventos, porque queremos que Marta aprove, mas não Juan. Para isso, basta utilizar a fórmula deste tipo de operação com eventos:

$\begin{array}{l}\displaystyle A-B =A\cap\overline{B}=\\[2ex]\displaystyle =\frac{1}{3}\cdot \left(1-\frac{2}{5}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}=\\[3ex] =\cfrac{3}{15} = 0,2\end{array}$

A probabilidade de Marta ter sucesso e Juan falhar ao mesmo tempo é, portanto, de 20%.

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Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais

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união de eventos

interseção de eventos

diferença de eventos

Exercícios resolvidos sobre operações com eventos

Exercício 1

Exercício 2

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