Probabilidade da união de eventos

By Agosto 1, 2023 Probabilidade 0 Comments

Neste artigo explicamos como calcular a probabilidade de união dos eventos. Assim você descobrirá qual é a fórmula da probabilidade de união dos eventos e, além disso, exercícios resolvidos passo a passo.

Qual é a união de eventos?

Na teoria das probabilidades, a união de eventos é uma operação de eventos cujo resultado é composto por todos os eventos elementares dos conjuntos da operação. Em outras palavras, a união de dois eventos A e B é o conjunto de eventos que se encontram em A, em B ou em ambos.

A união de dois eventos é expressa pelo símbolo ⋃. Assim, a união dos eventos A e B é escrita A⋃B.

Por exemplo, no experimento aleatório de lançar um dado, se um evento lançar um número ímpar A={1, 3, 5} e outro evento lançar um número menor que três B={1, 2}, a união dos dois os eventos são A⋃B={1, 2, 3, 5}.

Fórmula para a probabilidade da união de eventos

A probabilidade de união de dois eventos é igual à probabilidade do primeiro evento mais a probabilidade do segundo evento menos a probabilidade de intersecção dos dois eventos.

Em outras palavras, a fórmula para a probabilidade de união de dois eventos é P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B).

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Ouro:

  • P(A\cup B)

    é a probabilidade da união do evento A e do evento B.

  • P(A)

    é a probabilidade de que o evento A ocorra.

  • P(B)

    é a probabilidade de que o evento B ocorra.

  • P(A\cap B)

    é a probabilidade da interseção do evento A e do evento B.

No entanto, se os dois eventos forem incompatíveis, a interseção entre os dois eventos será zero. Portanto, a probabilidade de união de dois eventos incompatíveis é calculada somando a probabilidade de ocorrência de cada evento.

\text{A y B son incompatibles} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P(A\cap B)=0

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

Exemplos resolvidos de probabilidade de união de eventos

Para que você possa ver como é calculada a probabilidade de união de dois eventos, deixamos abaixo dois exemplos resolvidos passo a passo. Encontraremos primeiro a probabilidade de união de dois acontecimentos incompatíveis e depois de dois acontecimentos compatíveis, uma vez que o cálculo é ligeiramente diferente.

Probabilidade da união de dois eventos incompatíveis

  • Colocamos 10 bolas azuis, 6 bolas laranja e 4 bolas verdes numa caixa. Qual é a probabilidade de tirar uma bola azul ou laranja?

O exercício pede-nos para determinar a probabilidade de um evento ou outro ocorrer. Portanto, para resolver o problema, devemos utilizar a fórmula da união de dois eventos:

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Então, primeiro calculamos a probabilidade de cada evento ocorrer separadamente usando a fórmula da regra de Laplace :

P(\text{bola azul})=\cfrac{10}{10+6+4}=0,5

P(\text{bola naranja})=\cfrac{6}{10+6+4}=0,3

Porém, neste caso, os eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo, pois são dois eventos incompatíveis. Portanto, se desenharmos uma bola azul não poderemos mais desenhar uma bola laranja e vice-versa.

Portanto, a probabilidade conjunta de ambos os eventos é zero e, portanto, a fórmula é simplificada:

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-\cancelto{0}{P(A\cap B)}

Portanto, o cálculo da probabilidade de pegar uma bola azul ou laranja é o seguinte:

\begin{aligned}P(\text{bola azul}\cup \text{bola naranja})&=P(\text{bola azul})+P(\text{bola azul})\\[2ex]&=0,5+0,3\\[2ex]&=0,8\end{aligned}

Resumindo, a probabilidade de retirar uma bola azul ou laranja da caixa é de 80%.

Probabilidade da união de dois eventos compatíveis

  • Se jogarmos uma moeda duas vezes, qual é a probabilidade de obtermos cara em pelo menos um lançamento?

Nesse caso, os eventos são compatíveis, pois podemos obter “cara” no primeiro lance e “coroa” no segundo lance. Portanto, a fórmula de cálculo da probabilidade de união de eventos não é simplificada e é a seguinte:

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Portanto, primeiro precisamos calcular a probabilidade de obter “cara” no lançamento de uma moeda, aplicando a regra de Laplace:

P(\text{cara})=\cfrac{1}{2}=0,5

Agora vamos calcular a probabilidade de intersecção dos dois eventos usando a fórmula da regra de multiplicação :

P(\text{cara}\cap \text{cara})=\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{1}{2}=0,5\cdot 0,5=0,25

Por fim, para encontrar a probabilidade de sair cara em pelo menos um dos dois lançamentos, basta substituir os valores na fórmula e fazer o cálculo:

\begin{aligned}P(\text{cara}\cup \text{cara})&=P(\text{cara})+P(\text{cara})-P(\text{cara}\cap \text{cara})\\[2ex]&=0,5+0,5-0,25\\[2ex]&=0,75\end{aligned}

Concluindo, a probabilidade de que, ao jogar uma moeda duas vezes, ela dê cara pelo menos uma vez é de 75%.

Propriedades de uniões de eventos

Na teoria das probabilidades, o funcionamento da união de eventos atende às seguintes propriedades:

  • Propriedade comutativa: a ordem dos eventos na união não modifica o resultado da operação.

A\cup B=B\cup A

  • Propriedade associativa: a união de três eventos pode ser calculada em qualquer ordem, desde que o resultado seja o mesmo.

(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)

  • Propriedade distributiva: a união de eventos realiza a propriedade distributiva com a intersecção de eventos.

A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)

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Dr. Benjamin Anderson
Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais

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