Probabilidade de intersecção de eventos

By Dr. benjamim anderson Agosto 1, 2023 Probabilidade 0 Comments

Este artigo explica como calcular a probabilidade de intersecção de eventos. Assim você descobrirá qual é a fórmula da probabilidade de intersecção de eventos e, além disso, exercícios resolvidos passo a passo.

Qual é a intersecção de eventos?

Na teoria das probabilidades, a intersecção de eventos é uma operação de eventos cujo resultado é composto por eventos elementares comuns a todos os eventos da operação. Ou seja, a intersecção dos eventos A e B é formada por todos os eventos que pertencem a A e B ao mesmo tempo.

A interseção de dois eventos é expressa pelo símbolo ⋂. Assim, a interseção dos eventos A e B é escrita A⋂B.

Por exemplo, no experimento aleatório de lançar um dado, se um evento é que um número par é lançado A={2, 4, 6} e outro evento é que um número maior que três é lançado B={4, 5, 6}, a interseção dos dois eventos é A⋂B={4, 6}.

Fórmula para a probabilidade de intersecção de eventos

A probabilidade de intersecção de dois eventos é igual à probabilidade de um evento ocorrer vezes a probabilidade condicional de o outro evento ocorrer, dado o primeiro evento.

Portanto, a fórmula para a probabilidade de intersecção de dois eventos é P(A⋂B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B).

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)$

Ouro:

$A$

E

$B$

Esses são dois eventos dependentes.
$P(A\cap B)$

é a probabilidade da interseção do evento A e do evento B.
$P(A)$

é a probabilidade de que o evento A ocorra.
$P(B|A)$

é a probabilidade condicional de o evento B ocorrer dado o evento A.
$P(B)$

é a probabilidade de que o evento B ocorra.
$P(A|B)$

é a probabilidade condicional do evento A ocorrer dado o evento B.

➤ Veja: Probabilidade condicional (ou probabilidade condicional)

No entanto, se os dois eventos forem independentes, isso significa que a probabilidade de um evento ocorrer não depende da ocorrência do outro evento. Portanto, a fórmula para a probabilidade de intersecção dos dois eventos independentes é a seguinte:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Ouro:

$A$

E

$B$

Estes são dois eventos independentes.
$P(A\cap B)$

é a probabilidade da intersecção do evento evento A e evento B.
$P(A)$

é a probabilidade de que o evento A ocorra.
$P(B)$

é a probabilidade de que o evento B ocorra.

➤ Veja: Eventos Independentes

Exemplos do mundo real de probabilidade de intersecção de eventos

A seguir, deixamos dois exemplos resolvidos passo a passo para que você possa ver como é calculada a probabilidade de intersecção de dois eventos. Veremos primeiro um exemplo da intersecção de dois acontecimentos independentes e depois de dois acontecimentos dependentes, para que possa ver ambos os casos.

Probabilidade da intersecção de dois eventos independentes

Um sorteio é lançado três vezes consecutivas. Encontre a probabilidade de obter cara nos três lançamentos.

Neste caso, os eventos para os quais queremos calcular a probabilidade conjunta são independentes, pois o resultado de um empate não depende do resultado obtido no sorteio anterior. Portanto, para determinar a probabilidade de obter três caras consecutivas, devemos usar a fórmula de probabilidade de interseção para eventos independentes:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

No sorteio, existem apenas dois resultados possíveis, podemos obter cara ou coroa. Portanto, a probabilidade de obter cara ou coroa no lançamento de uma moeda é:

$P(\text{cara})=\cfrac{1}{2}=0,5$

Portanto, para encontrar a probabilidade de obter cara em todos os três lançamentos de moeda, precisamos multiplicar a probabilidade de obter cara por três:

$\begin{aligned}P(\text{cara}\cap \text{cara}\cap \text{cara})&=P(\text{cara})\cdot P(\text{cara})\cdot P(\text{cara})\\[2ex]&=0,5\cdot 0,5\cdot 0,5\\[2ex]&=0,125\end{aligned}$

Resumindo, a probabilidade de obter cara três vezes seguidas é de 12,5%.

Probabilidade da intersecção de dois eventos dependentes

Numa caixa vazia colocamos 8 bolas azuis, 4 bolas laranja e 2 bolas verdes. Se tirarmos primeiro uma bola e depois outra bola sem colocar a primeira bola retirada de volta na caixa, qual é a probabilidade de a primeira bola ser azul e a segunda bola laranja?

Nesse caso, os eventos são dependentes, pois a probabilidade de pegar uma bola laranja no segundo sorteio depende da cor da bola sorteada no primeiro sorteio. Portanto, para calcular a probabilidade que o problema nos pede, devemos utilizar a fórmula da probabilidade de interseção para eventos dependentes:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

A probabilidade de obter uma bola azul no primeiro sorteio é fácil de determinar, bastando dividir o número de bolas azuis pelo número total de bolas:

$P(\text{bola azul})=\cfrac{8}{8+4+2}=\cfrac{8}{14}=0,57$

Por outro lado, a probabilidade de tirar uma bola laranja depois de tirar uma bola azul é calculada de forma diferente porque o número de bolas laranja é diferente e, além disso, há agora uma bola a menos dentro da caixa:

$P(\text{bola naranja}|\text{bola azul})=\cfrac{4}{7+4+2}=\cfrac{4}{13}=0,31$

Assim, a probabilidade de tirar primeiro uma bola azul e depois uma bola laranja é calculada multiplicando as duas probabilidades encontradas acima:

$\begin{array}{l}P(\text{bola azul}\cap\text{bola naranja})=\\[2ex]=P(\text{bola azul})\cdot P(\text{bola naranja}|\text{bola azul})=\\[2ex]=0,57\cdot 0,31= \\[2ex]=0,18\end{array}$

➤ Veja: Probabilidade de união de eventos

Propriedades de interseção de eventos

Na teoria das probabilidades, a intersecção de eventos tem as seguintes propriedades:

Propriedade comutativa: A ordem dos eventos de interseção não altera o resultado da operação.

$A\cap B=B\cap A$

Propriedade associativa: A intersecção de três eventos pode ser calculada em qualquer ordem, desde que o resultado seja o mesmo.

$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$

Propriedade distributiva: a intersecção de eventos satisfaz a propriedade distributiva na união de eventos.

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

➤ Veja: Operações com eventos

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Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais