Como encontrar a probabilidade de “pelo menos dois” sucesso

Podemos usar a seguinte fórmula geral para encontrar a probabilidade de pelo menos dois sucessos em uma série de tentativas:

 P(at least two successes) = 1 - P(zero successes) - P(one success)

Na fórmula acima, podemos calcular cada probabilidade usando a seguinte fórmula para a distribuição binomial :

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Ouro:

• n: número de tentativas
• k: número de sucessos
• p: probabilidade de sucesso em uma determinada tentativa
• _n C _k : o número de maneiras de obter k sucessos em n tentativas

Os exemplos a seguir mostram como usar esta fórmula para encontrar a probabilidade de “pelo menos dois” sucessos em cenários diferentes.

Exemplo 1: Tentativas de lance livre

Ty acerta 25% de suas tentativas de lance livre. Se ele tentar 5 lances livres, encontre a probabilidade de ele acertar pelo menos dois.

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de ele acertar exatamente zero lances livres ou exatamente um lance livre:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,25 ⁰ * (1-0,25) ^5-0 = 1 * 1 * 0,75 ⁵ = 0,2373

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,25 ¹ * (1-0,25) ^5-1 = 5 * 0,25 * 0,75 ⁴ = 0,3955

A seguir, vamos inserir esses valores na seguinte fórmula para encontrar a probabilidade de Ty acertar pelo menos dois lances livres:

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• P(X≥2) = 1 – 0,2372 – 0,3955
• P(X≥2) = 0,3673

A probabilidade de Ty acertar pelo menos dois lances livres em cinco tentativas é de 0,3673 .

Exemplo 2: Widgets

Em uma determinada fábrica, 2% de todos os widgets apresentam defeito. Em uma amostra aleatória de 10 widgets, determine a probabilidade de pelo menos dois estarem com defeito.

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de que exatamente zero ou exatamente um esteja com defeito:

P(X=0) = ₁₀ C ₀ * 0,02 ⁰ * (1-0,02) ^10-0 = 1 * 1 * 0,98 ¹⁰ = 0,8171

P(X=1) = ₁₀ C ₁ * 0,02 ¹ * (1-0,02) ^10-1 = 10 * 0,02 * 0,98 ⁹ = 0,1667

A seguir, vamos inserir esses valores na seguinte fórmula para encontrar a probabilidade de que pelo menos dois widgets estejam com defeito:

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• P(X≥2) = 1 – 0,8171 – 0,1667
• P(X≥2) = 0,0162

A probabilidade de pelo menos dois widgets estarem com defeito nesta amostra aleatória de 10 é 0,0162 .

Exemplo 3: perguntas triviais

Bob responde corretamente 60% das perguntas triviais. Se lhe fizermos 5 perguntas triviais, determine a probabilidade de ele responder pelo menos duas corretamente.

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de responder exatamente zero ou exatamente um:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,60 ⁰ * (1-0,60) ^5-0 = 1 * 1 * 0,40 ⁵ = 0,01024

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,60 ¹ * (1-0,60) ^5-1 = 5 * 0,60 * 0,40 ⁴ = 0,0768

A seguir, vamos inserir esses valores na seguinte fórmula para encontrar a probabilidade de ele responder corretamente a pelo menos duas perguntas:

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• P(X≥2) = 1 – 0,01024 – 0,0768
• P(X≥2) = 0,91296

A probabilidade de ele responder corretamente a pelo menos duas das cinco perguntas é 0,91296 .

Bônus: Calculadora de probabilidade de “pelo menos dois”

Use esta calculadora para encontrar automaticamente a probabilidade de “pelo menos dois” sucessos, com base na probabilidade de sucesso em uma determinada tentativa e no número total de tentativas.