Como calcular intervalos de confiança: 3 exemplos de problemas

Um intervalo de confiança para uma média é um intervalo de valores que provavelmente contém uma média populacional com um certo nível de confiança.

Usamos a seguinte fórmula para calcular um intervalo de confiança para uma média:

Intervalo de confiança = x +/- t*(s/√ n )

Ouro:

• x : médias amostrais
• t: o valor crítico de t
• s: desvio padrão da amostra
• n: tamanho da amostra

Nota : Substituímos o valor crítico por um valor crítico z na fórmula se o desvio padrão da população (σ) for conhecido e o tamanho da amostra for maior que 30.

Os exemplos a seguir mostram como construir um intervalo de confiança para uma média em três cenários diferentes:

• O desvio padrão populacional (σ) é desconhecido
• O desvio padrão populacional (σ) é conhecido, mas n ≤ 30
• O desvio padrão populacional (σ) é conhecido en > 30

Vamos!

Exemplo 1: intervalo de confiança quando σ é desconhecido

Suponha que queiramos calcular um intervalo de confiança de 95% para a altura média (em polegadas) de uma determinada espécie de planta.

Suponha que coletamos uma amostra aleatória simples com as seguintes informações:

• média amostral ( x ) = 12
• tamanho da amostra (n) = 19
• desvio padrão(s) amostral(s) = 6,3

Podemos usar a seguinte fórmula para construir esse intervalo de confiança:

• IC 95% = x +/- t*(s/√ n )
• IC 95% = 12 +/- t _{n-1, α/2} *(6,3/√ 19 )
• IC 95% = 12 +/- t _18,025 *(6,3/√ 19 )
• IC 95% = 12 +/- 2,1009*(6,3/√ 19 )
• IC 95% = (8.964, 15.037)

O intervalo de confiança de 95% para a altura média da população para esta espécie de planta específica é (8,964 polegadas, 15,037 polegadas) .

Nota nº 1 : Usamos a calculadora de distribuição t inversa para encontrar o valor t crítico associado a 18 graus de liberdade e um nível de confiança de 0,95.

Nota #2 : Como o desvio padrão populacional (σ) é desconhecido, utilizamos o valor crítico t no cálculo do intervalo de confiança.

Exemplo 2: Intervalo de confiança quando σ é conhecido, mas n ≤ 30

Suponha que queiramos calcular um intervalo de confiança de 99% para a nota média de um determinado vestibular.

Suponha que coletamos uma amostra aleatória simples com as seguintes informações:

• média amostral ( x ) = 85
• tamanho da amostra (n) = 25
• desvio padrão populacional (σ) = 3,5

Podemos usar a seguinte fórmula para construir esse intervalo de confiança:

• IC 99% = x +/- t*(s/√ n )
• IC 99% = 85 +/- t _{n-1, α/2} *(3,5/√ 25 )
• IC 99% = 85 +/- t _24,005 *(3,5/√ 25 )
• IC 99% = 85 +/- 2,7969*(3,5/√ 25 )
• IC 99% = (83,042, 86,958)

O intervalo de confiança de 99% para a nota média da população neste vestibular é (83,042, 86,958) .

Nota nº 1 : Usamos a calculadora de distribuição t inversa para encontrar o valor t crítico associado a 24 graus de liberdade e um nível de confiança de 0,99.

Nota #2 : Como o desvio padrão populacional (σ) era conhecido, mas o tamanho da amostra (n) era inferior a 30, utilizamos o valor crítico t no cálculo do intervalo de confiança.

Exemplo 3: Intervalo de confiança quando σ é conhecido en > 30

Suponha que queiramos calcular um intervalo de confiança de 90% para o peso médio de uma determinada espécie de tartaruga.

Suponha que coletamos uma amostra aleatória simples com as seguintes informações:

• média amostral ( x ) = 300
• tamanho da amostra (n) = 40
• desvio padrão populacional (σ) = 15

Podemos usar a seguinte fórmula para construir esse intervalo de confiança:

• IC 90% = x +/- z*(σ/√ n )
• IC 90% = 300 +/- 1,645*(15/√ 40 )
• IC 90% = (296.099, 303.901)

O intervalo de confiança de 90% para o peso médio da população desta espécie de tartaruga em particular é (83,042, 86,958) .

Nota nº 1 : Usamos a Calculadora do Valor Z Crítico para encontrar o valor z crítico associado a um nível de significância de 0,1.

Nota #2 : Como o desvio padrão populacional (σ) era conhecido e o tamanho da amostra (n) era maior que 30, utilizamos o valor crítico z no cálculo do intervalo de confiança.

Recursos adicionais

Os tutoriais a seguir fornecem informações adicionais sobre intervalos de confiança:

4 exemplos de intervalos de confiança na vida real
Como escrever uma conclusão sobre intervalo de confiança
As 6 hipóteses de intervalo de confiança a serem verificadas