O que é propriedade sem memória? (definição e #038; exemplo)

Em estatística, diz-se que uma distribuição de probabilidade tem uma propriedade sem memória se a probabilidade de ocorrência de um evento futuro não for afetada pela ocorrência de eventos passados.

Existem apenas duas distribuições de probabilidade com a propriedade sem memória:

• A distribuição exponencial com números reais não negativos.
• A distribuição geométrica com inteiros não negativos.

Essas duas distribuições de probabilidade são usadas para modelar o tempo esperado antes que um evento ocorra.

Acontece que, em qualquer momento, saber quanto tempo já passou não nos diz se é mais provável que um evento aconteça mais cedo ou mais tarde.

Os exemplos a seguir nos ajudam a ter uma melhor intuição da propriedade sem memória.

Uma intuição de propriedade sem memória

Considere os seguintes exemplos:

Não sem memória

Sabe-se que uma determinada marca de notebook dura em média cerca de 6 anos antes de morrer. Portanto, se soubermos que um determinado laptop tem 5 anos, o tempo esperado até que ele morra é bastante curto. No entanto, se outro laptop tiver apenas 1 ano, o tempo esperado até que ele morra é bastante longo.

Neste exemplo, saber quanto tempo se passou durante a vida útil de cada laptop nos diz quanto tempo o laptop continuará funcionando até morrer. Portanto, esta distribuição de probabilidade não teria nenhuma propriedade sem memória.

Sem memória

Acho que Jéssica é dona de uma loja de conveniência. Ela quer saber quanto tempo terá que esperar até que o próximo cliente entre na loja.

Neste exemplo, saber quando o último cliente entrou na loja não é muito útil para prever quando o próximo cliente entrará, porque cada cliente é independente e apresenta um comportamento individual.

Portanto, esta distribuição de probabilidade teria uma propriedade sem memória. Em outras palavras, a probabilidade de ocorrência de um evento futuro não é afetada pela ocorrência de eventos passados.

A propriedade sem memória: uma definição formal

Em termos estatísticos formais, diz-se que uma variável aleatória X segue uma distribuição de probabilidade com uma propriedade sem memória se para a e b   em {0, 1, 2,…} é verdade que:

Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )

Por exemplo, suponha que temos uma distribuição de probabilidade com propriedade sem memória e X é o número de tentativas até o primeiro sucesso. Se a = 30 e b = 10 então diríamos:

• Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
• Pr(X > 30 + 10 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)
• Pr(X > 40 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)

Em outras palavras, se tivemos 30 tentativas malsucedidas, então a probabilidade de termos que esperar até a tentativa nº 40 ou mais tarde para ter sucesso é a mesma que a probabilidade de começar do zero e esperar até a tentativa nº 10. ou mais para ter sucesso.

Como esta distribuição de probabilidade tem uma propriedade sem memória, isso significa que saber o número de falhas que tivemos até certo ponto ainda não nos diz sobre a probabilidade de falha no futuro.

A propriedade sem memória: um exemplo

Suponha que em média 30 clientes por hora entrem numa loja e que o tempo entre as chegadas seja distribuído exponencialmente. Em média, passam 2 minutos entre visitas sucessivas.

Presume que 10 minutos se passaram desde a chegada do último cliente. Dado que este é um período de tempo invulgarmente longo, parece mais provável que um cliente chegue dentro de um minuto.

Contudo, como a distribuição exponencial tem uma propriedade sem memória, este não é o caso. O tempo gasto esperando a chegada do próximo cliente não depende do tempo desde a chegada do último cliente.

Podemos provar isso usando o CDF da distribuição exponencial:

CDF: 1 – e ^-λx

onde λ é calculado como 1/tempo médio entre chegadas. Em nosso exemplo, λ = 1/2 = 0,5.

Se definirmos a = 10 e b = 1, então temos:

• Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
• Pr( ^X > 10 + 1 |

Independentemente de quanto tempo se passou desde a chegada do último cliente, a probabilidade de que falte mais de um minuto até a próxima chegada é 0,6065 .