Quartis

By Dr. benjamim anderson Agosto 5, 2023 Estatisticas 0 Comments

Neste artigo explicamos o que são quartis. Você encontrará a definição de cada quartil, como calculá-los e vários exemplos concretos. Também mostramos como calcular quartis para dados agrupados. Além disso, você poderá calcular quartis de qualquer conjunto de dados com uma calculadora online.

O que são quartis?

Nas estatísticas, os quartis são os três valores que dividem um conjunto de dados ordenados em quatro partes iguais. Assim, o primeiro, segundo e terceiro quartis representam respectivamente 25%, 50% e 75% de todos os dados estatísticos.

Os quartis são representados por um Q maiúsculo e pelo índice do quartil, portanto o primeiro quartil é Q ₁ , o segundo quartil é Q ₂ e o terceiro quartil é Q ₃ .

👉 Você pode usar a calculadora abaixo para calcular quartis de qualquer conjunto de dados.

Deve-se notar que os quartis são uma medida de posição não central da mesma forma que os quintis, decis e percentis. Você pode verificar o que é cada um desses tipos de quantis nesta página da web.

primeiro quartil

O primeiro quartil , também denominado quartil 1, é o valor superior a 25% dos dados estatísticos de uma amostra. Ou seja, o primeiro quartil representa mais de 25% dos dados observados.

O primeiro quartil é expresso pelo símbolo Q ₁ e é usado para denotar os menores valores dos dados na amostra.

segundo quartil

O segundo quartil , também denominado quartil 2, é o valor superior a 50% dos dados estatísticos de uma amostra. Portanto, o segundo quartil separa o conjunto de dados em duas metades e coincide com a mediana e o quinto decil.

O símbolo do segundo quartil é _Q2 .

terceiro quartil

O terceiro quartil , também chamado de 3º quartil, é o valor que ultrapassa 75% dos dados estatísticos de uma amostra. Ou seja, o terceiro quartil representa mais de 75% dos dados recolhidos.

O terceiro quartil é expresso pelo símbolo Q ₃ e representa os maiores valores da amostra.

Como calcular quartis

Para calcular a posição dos quartis de um conjunto de dados estatísticos, você deve multiplicar o número de quartis pela soma do número total de dados mais um e dividir o resultado por quatro.

A fórmula para os quartis é, portanto, a seguinte:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{4} \qquad k=1, 2, 3$

Observação: esta fórmula nos informa a posição do quartil, não o valor do quartil. O quartil serão os dados localizados na posição obtida pela fórmula.

No entanto, por vezes o resultado desta fórmula dá-nos um número decimal. Devemos, portanto, distinguir dois casos dependendo se o resultado é um número decimal ou não:

Se o resultado da fórmula for um número sem parte decimal , o quartil são os dados que estão na posição fornecida pela fórmula acima.
Se o resultado da fórmula for um número com parte decimal , o valor do quartil é calculado usando a seguinte fórmula:

$Q=x_i+d\cdot (x_{i+1}-x_i)$

Onde x _i e x _i+1 são os números das posições entre as quais se localiza o número obtido pela primeira fórmula, ed é a parte decimal do número obtido pela primeira fórmula.

Agora, talvez calcular quartis seja muito complicado para você, porque há muitas coisas para levar em conta. Mas com os dois exemplos da próxima seção, você verá como isso é bastante simples.

Nota : Na comunidade científica não há consenso sobre como calcular quartis, então você pode encontrar um livro de estatística que explica de forma um pouco diferente.

Exemplos de cálculo de quartis

Para entender completamente como os quartis são calculados, você encontrará dois exercícios resolvidos abaixo. No primeiro os quartis são números inteiros e no segundo os quartis são números decimais, então você pode ver quais são os dois casos que consegue encontrar.

Exemplo 1

Calcule os três quartis do seguinte conjunto de dados:

Como vimos acima, a fórmula para determinação dos quartis é:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{4} \qquad k=1, 2, 3$

Neste caso n , o número total de observações é 15, devemos portanto substituir n por 15 e k por 1 para encontrar o primeiro quartil:

$\cfrac{1\cdot (15+1)}{4}=4 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad Q_1=39$

Portanto, o primeiro quartil é o número na posição quatro da lista ordenada de valores, que neste caso é 39.

Da mesma forma, calculamos o segundo quartil substituindo o coeficiente k por 2:

$\cfrac{2\cdot (15+1)}{4}=8 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad Q_2=48$

O quartil 2 é, portanto, o oitavo número da lista ordenada, que corresponde ao valor 48.

Finalmente, aplicamos a fórmula uma última vez com k =3 para calcular o terceiro quartil:

$\cfrac{3\cdot (15+1)}{4}=12 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad Q_3=60$

O quartil 3 corresponde aos dados na décima segunda posição, ou seja, 60.

Exemplo 2

Encontre os três quartis da seguinte série de dados:

exercício resolvido, dados classificados

Neste segundo exemplo, temos 24 observações, portanto os números obtidos na fórmula do quartil serão decimais.

Primeiro calculamos a posição do primeiro quartil substituindo k por 1 na fórmula geral:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{4}$

$\cfrac{1\cdot (24+1)}{4}=6,25$

Mas obtivemos o número decimal 6,25, então o primeiro quartil fica entre o sexto e o sétimo dados, que são 22 e 25 respectivamente. Portanto, para calcular o quartil exato precisamos aplicar a seguinte fórmula:

$Q=x_i+d\cdot (x_{i+1}-x_i)$

Neste caso x _i é 22, x _i+1 25 e d é a parte decimal do número obtido, ou seja, 0,25. Ainda:

$Q_1=22+0,25\cdot (25-22)=22,75$

Agora fazemos o mesmo procedimento para encontrar o segundo quartil:

$\cfrac{2\cdot (24+1)}{4}=12,5$

Novamente obtemos um número decimal da fórmula, neste caso é 12,5. Devemos, portanto, usar a mesma fórmula com o décimo segundo e décimo terceiro números da tabela de dados, que corresponde a 49 e 50:

$Q_2=49+0,5\cdot (50-49)=49,5$

Por fim, repetimos o mesmo processo para obter o terceiro quartil:

$\cfrac{3\cdot (24+1)}{4}=18,75$

Mas o número 18,75 está entre os números 18 e 19, então o terceiro quartil estará entre os valores dessas posições (71 e 73). Mais precisamente, este será o valor que obteremos da seguinte expressão:

$Q_3=71+0,75\cdot (73-71)=72,5$

calculadora quartil

Insira um conjunto de dados estatísticos na calculadora abaixo para calcular quartis. Os dados devem ser separados por espaço e inseridos usando o ponto final como separador decimal.

Quartis em dados agrupados

Para calcular quartis quando os dados são agrupados em intervalos, primeiro precisamos encontrar o intervalo ou categoria em que o quartil se enquadra usando a seguinte fórmula:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{4} \qquad k=1, 2, 3$

O quartil estará portanto no intervalo cuja frequência acumulada absoluta é imediatamente superior ao número obtido com a expressão anterior.

E uma vez conhecido o intervalo ao qual pertence o quartil, devemos aplicar a seguinte fórmula para encontrar o valor exato do quartil:

$Q_k=L_i+ \cfrac{\displaystyle\frac{k\cdot (n+1)}{4}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i \qquad k=1,2,3$

Ouro:

L _i é o limite inferior do intervalo em que se encontra o quartil.
n é o número total de observações.
F _i-1 é a frequência absoluta acumulada do intervalo anterior.
f _i é a frequência absoluta do intervalo em que se encontra o quartil.
I _i é a largura do intervalo quartil.

Como exemplo, aqui está um exercício para calcular quartis em uma série de dados agrupados:

Para calcular o primeiro quartil, você deve primeiro determinar o intervalo em que ele se enquadra. Para fazer isso, aplicamos a seguinte fórmula:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{4}$

$\cfrac{1\cdot (30+1)}{4} =7,75 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [50,60)$

Então o primeiro quartil estará no intervalo cuja frequência absoluta acumulada é imediatamente maior que 7,75, neste caso é o intervalo [50,60) cuja frequência absoluta acumulada é 15. E uma vez conhecido o intervalo quartil, usamos a segunda fórmula do processo :

$Q_k=L_i+\cfrac{\displaystyle\frac{k\cdot (n+1)}{4}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i$

$Q_1=50+\cfrac{\displaystyle\frac{1\cdot (30+1)}{4}-7}{8}\cdot 10=50,94$

Aplicamos o mesmo procedimento novamente para obter o segundo quartil. Primeiro determinamos o intervalo onde se encontra o quartil:

$\cfrac{2\cdot (30+1)}{4} =15,5 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [60,70)$

O intervalo cuja frequência absoluta acumulada é imediatamente superior a 15,5 é [60,70), com frequência absoluta acumulada de 26. O segundo quartil é portanto:

$Q_2=60+\cfrac{\displaystyle\frac{2\cdot (30+1)}{4}-15}{11}\cdot 10=60,45$

E, finalmente, repetimos o processo para encontrar o terceiro quartil. Primeiro calculamos o intervalo que contém o quartil:

$\cfrac{3\cdot (30+1)}{4} =22,5 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [60,70)$

A frequência absoluta acumulada imediatamente acima de 23,25 é 26, portanto o intervalo do terceiro quartil é [60,70). Aplicamos, portanto, a fórmula para calcular o quartil com este intervalo:

$Q_3=60+\cfrac{\displaystyle\frac{3\cdot (30+1)}{4}-15}{11}\cdot 10=67,5$

Para que são usados os quartis?

Os quartis são uma medida de posição, portanto são usados para saber como os dados estão posicionados. Ou seja, os valores dos três quartis permitem-nos saber se um dado aleatório da amostra é muito grande, muito pequeno ou se é um valor médio.

Se retirarmos aleatoriamente um dado da amostra, podemos dizer se seu valor é alto ou baixo comparando-o com os quartis. Se o valor dos dados aleatórios for menor que o primeiro quartil, será um valor pequeno, mas se o seu valor for maior que o terceiro quartil, será um valor grande. Da mesma forma, se o valor desses dados estiver entre o primeiro e o terceiro quartil, é um valor intermediário.

Por outro lado, os quartis também são usados para calcular outras medidas estatísticas, como o intervalo interquartil (ou intervalo interquartil), e para fazer diagramas, como o box and whisker plot (ou boxplot).

About Author

Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais

O que são quartis?

primeiro quartil

segundo quartil

terceiro quartil

Como calcular quartis

Exemplos de cálculo de quartis

Exemplo 1

Exemplo 2

calculadora quartil

Quartis em dados agrupados

Para que são usados os quartis?

About Author

Dr. benjamim anderson

Add a Comment