Distribuição lognormal

By Dr. benjamim anderson Agosto 3, 2023 Probabilidade 0 Comments

Este artigo explica o que é distribuição lognormal nas estatísticas. Assim, você descobrirá quais são as propriedades da distribuição lognormal e o gráfico desse tipo de distribuição de probabilidade.

Qual é a distribuição lognormal?

A distribuição lognormal , ou distribuição lognormal , é uma distribuição de probabilidade que define uma variável aleatória cujo logaritmo segue uma distribuição normal.

Portanto, se a variável X tem distribuição normal, então a função exponencial e ^x tem distribuição lognormal.

$X\sim \text{Lognormal}(\mu,\sigma^2)$

Observe que a distribuição lognormal só pode ser usada quando os valores das variáveis são positivos, pois o logaritmo é uma função que leva apenas um argumento positivo.

Entre as diferentes aplicações da distribuição lognormal em estatística, destacamos a utilização desta distribuição para analisar investimentos financeiros e realizar análises de confiabilidade.

A distribuição lognormal também é conhecida como distribuição Tinaut , às vezes também escrita como distribuição lognormal ou distribuição log-normal .

Gráfico de distribuição lognormal

Agora que conhecemos a definição da distribuição lognormal, veremos nesta seção como a representação gráfica da distribuição lognormal varia dependendo dos valores de sua média aritmética e de seu desvio padrão.

O gráfico da função densidade da distribuição lognormal é o seguinte:

Por outro lado, o gráfico de probabilidade cumulativa da distribuição lognormal é o seguinte:

gráfico de probabilidade cumulativa de distribuição lognormal

Características da distribuição lognormal

A distribuição lognormal possui as seguintes características:

A distribuição lognormal é definida pelo valor de dois parâmetros, sua média aritmética μ e sua variância σ ² .

$X\sim \text{Lognormal}(\mu,\sigma^2)$

O domínio da distribuição lognormal consiste em números reais positivos, pois o logaritmo não aceita valores negativos ou zero.

$x\in (0,+\infty)$

A expectativa de uma distribuição lognormal é igual ao número e elevado à soma da média mais a variância dividida por dois.

$\displaystyle E[X]=e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}$

Por outro lado, a variância de uma distribuição lognormal pode ser calculada com a seguinte expressão:

$Var(X)=\left(e^{\sigma^2}-1\right)\cdot e^{2\mu+\sigma^2$

A moda da distribuição lognormal é equivalente ao número e elevado à média da distribuição.

$Mo=e^\mu$

O coeficiente de assimetria da distribuição lognormal pode ser determinado aplicando a seguinte fórmula:

$\displaystyle A=\left(e^{\sigma^2}+2\right)\cdot\sqrt{e^{\sigma^2}-1}$

A fórmula para a função densidade da distribuição lognormal é:

$\displaystyle P[X=x]=\frac{1}{\sigma \cdot x\cdot \sqrt{2 \pi}}\cdot \exp\left(-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

A fórmula para a função de probabilidade cumulativa da distribuição lognormal é:

$\displaystyle P[X\leq x]=\Phi\left(\frac{\ln x-\mu}{\sigma}\right)$

Ouro

$\Phi$

é a função de probabilidade cumulativa de uma distribuição normal padrão .

A média aritmética de uma distribuição lognormal é maior que o valor de sua mediana.

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Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais

Qual é a distribuição lognormal?

Gráfico de distribuição lognormal

Características da distribuição lognormal

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