Regressão logística

By Dr. benjamim anderson Agosto 2, 2023 Estatisticas 0 Comments

Este artigo explica o que é regressão logística em estatísticas. Da mesma forma, você encontrará a fórmula de regressão logística, quais são os diferentes tipos de regressão logística e, além disso, um exercício de regressão logística resolvido.

O que é regressão logística?

Nas estatísticas, a regressão logística é um tipo de modelo de regressão usado para prever o resultado de uma variável categórica . Ou seja, a regressão logística é utilizada para modelar a probabilidade de uma variável categórica assumir um determinado valor com base nas variáveis independentes.

O modelo de regressão logística mais comum é a regressão logística binária, na qual existem apenas dois resultados possíveis: “fracasso” ou “sucesso” ( distribuição de Bernoulli ). “Fracasso” é representado pelo valor 0, enquanto “sucesso” é representado pelo valor 1.

Por exemplo, a probabilidade de um aluno passar em um exame com base nas horas que passou estudando pode ser estudada por meio de um modelo de regressão logística. Neste caso, o fracasso seria o resultado do “fracasso” e, por outro lado, o sucesso seria o resultado do “sucesso”.

Fórmula de regressão logística

A equação para um modelo de regressão logística é:

$\displaystyle \ln \left(\frac{p}{1-p}\right) =\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\dots+\beta_ix_i$

Portanto, em um modelo de regressão logística, a probabilidade de se obter o resultado “sucesso”, ou seja, que a variável dependente assuma o valor 1, é calculada com a seguinte fórmula:

$p=\cfrac{1}{1+e^{-(\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\dots+\beta_ix_i)}}$

Ouro:

$p$

é a probabilidade de que a variável dependente seja 1.
$\beta_0$

é a constante do modelo de regressão logística.
$\beta_i$

é o coeficiente de regressão da variável i.
$x_i$

é o valor da variável i.

Exemplo de modelo de regressão logística

Agora que conhecemos a definição de regressão logística, vamos ver um exemplo concreto de como criar um modelo desse tipo de regressão.

Na tabela a seguir, foi compilada uma série de 20 dados que relacionam as horas de estudo de cada aluno e se eles foram aprovados ou reprovados em um exame de estatística. Execute um modelo de regressão logística e calcule a probabilidade de um aluno ser aprovado se estudar 4 horas.

Nesse caso, a variável explicativa é o número de horas de estudo e a variável resposta é se o aluno foi reprovado (0) ou aprovado (1). Portanto, em nosso modelo teremos apenas o coeficiente

$\beta_0$

e o coeficiente

$\beta_1$

, uma vez que existe apenas uma variável independente.

$\beta_0 \qquad \beta_1$

A determinação manual dos coeficientes de regressão é muito trabalhosa, por isso é recomendado o uso de software de computador como o Minitab. Assim, os valores dos coeficientes de regressão calculados utilizando o Minitab são os seguintes:

$\begin{array}{c}\beta_0\approx -4,1\\[2ex]\beta_1\approx 1,5\end{array}$

O modelo de regressão logística é, portanto, o seguinte:

$\begin{aligned}p&=\cfrac{1}{1+e^{-(\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\dots+\beta_ix_i)}}\\[2ex]p&=\cfrac{1}{1+e^{-(-4,1+1,5x_1)}}\\[2ex]p&=\cfrac{1}{1+e^{4,1-1,5x_1}}\end{aligned}$

Abaixo você pode ver os dados de amostra e a equação do modelo de regressão logística representada graficamente:

Assim, para calcular a probabilidade de um aluno ter sucesso caso tenha estudado 4 horas, basta utilizar a equação obtida no modelo de regressão logística:

$\begin{aligned}p&=\cfrac{1}{1+e^{4,1-1,5x_1}}\\[2ex]p&=\cfrac{1}{1+e^{4,1-1,5\cdot 4}}\\[2ex]p&=0,8699\end{aligned}$

Resumindo, se um aluno estudar quatro horas terá 86,99% de probabilidade de passar no exame.

Tipos de regressão logística

Existem três tipos de regressão logística :

Regressão Logística Binária : A variável dependente só pode ter dois valores (0 e 1).
Regressão logística multinomial : A variável dependente possui mais de dois valores possíveis.
Regressão logística ordinal : os resultados possíveis têm uma ordem natural.

Regressão logística e regressão linear

Por fim, de forma resumida, veremos qual a diferença entre uma regressão logística e uma regressão linear, já que o modelo de regressão mais utilizado em estatística é o modelo linear.

A regressão linear é usada para modelar variáveis dependentes numéricas. Além disso, na regressão linear, a relação entre as variáveis explicativas e a variável resposta é linear.

Portanto, a principal diferença entre regressão logística e regressão linear é o tipo de variável dependente. Numa regressão logística, a variável dependente é categórica, enquanto a variável dependente numa regressão linear é numérica.

Assim, a regressão logística é usada para prever um resultado entre duas opções possíveis, enquanto a regressão linear ajuda a prever um resultado numérico.

About Author

Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais