Teorema da probabilidade total

Este artigo explica o que é o teorema da probabilidade total e para que ele é usado em probabilidade e estatística. Assim, você encontrará a fórmula do teorema da probabilidade total, os exercícios resolvidos e quando o teorema da probabilidade total é utilizado.

Qual é o teorema da probabilidade total?

Na teoria das probabilidades, o teorema da probabilidade total é uma lei que permite calcular a probabilidade de um evento que não faz parte de um espaço amostral a partir das probabilidades condicionais de todos os eventos nesse espaço amostral.

Assim, o teorema da probabilidade total é usado para calcular a probabilidade de um evento específico com base em informações parciais sobre esse evento. Às vezes não podemos determinar a probabilidade de um evento aplicando diretamente a regra de Laplace porque não temos todas as informações necessárias. Mas se conhecermos dados sobre este evento em relação a outros eventos, o teorema da probabilidade total é geralmente útil.

Resumindo, o teorema da probabilidade total é usado quando queremos calcular a probabilidade de um evento, mas só temos informações sobre ele sob certas condições. Por exemplo, algumas aplicações deste teorema envolvem experimentos com múltiplos casos, teoria das filas e análise de sobrevivência.

Fórmula para o teorema da probabilidade total

O teorema da probabilidade total diz que dado um conjunto de eventos {A ₁ , A ₂ ,…, A _n } que formam uma partição no espaço amostral, a probabilidade do evento B é igual à soma dos produtos da probabilidade de cada evento P(A _i ) pela probabilidade condicional P(B|A _i ).

Portanto, a fórmula para o teorema da probabilidade total é:

Ouro:

• 

  é a probabilidade de que o evento B ocorra.

• 

  é a probabilidade condicional do evento B dado o evento A _i .

• 

  é a probabilidade de que o evento A _i ocorra.

Tenha em mente que, em probabilidade, uma partição do espaço amostral é definida como um conjunto de eventos mutuamente incompatíveis cuja união forma o espaço amostral.

Exemplo concreto do teorema da probabilidade total

Depois de ver a definição do teorema da probabilidade total e qual é sua fórmula, veremos um exercício resolvido sobre como uma probabilidade é calculada com o teorema da probabilidade total para entender melhor seu significado.

• Uma loja de eletrônicos vende três marcas de televisores: X, Y, Z. Estima-se que 20% das vendas sejam de televisores da marca, % de televisores da marca com defeito e 4% de televisores da marca Z. televisores estão com defeito. Qual é a probabilidade de comprar uma TV com defeito?

A definição do problema nos dá as probabilidades de um cliente comprar cada marca de TV:

• Evento A ₁ : Um cliente compra _uma marca de televisão
• Evento A ₂ : Um cliente compra uma televisão da marca Y → P(A ₂ )=0,50
• Evento A ₃ : Um cliente compra uma marca de televisão Z → P(A ₃ )=0,30

Além disso, a declaração do exercício também nos fornece a probabilidade de uma televisão de cada marca estar com defeito:

Evento B: A TV está com defeito

• B|A ₁ : Dado um televisor da marca X, o televisor está com defeito → P(B|A ₁ )=0,05
• B|A ₂ : Dada uma marca de televisão Y, a televisão está com defeito → P(B|A ₂ )=0,03
• B|A ₃ : Dado um televisor da marca Z, o televisor está com defeito → P(B|A ₃ )=0,04

Assim, a árvore de probabilidade do problema é a seguinte:

Portanto, para calcular a probabilidade de comprar uma TV com defeito, precisamos usar a fórmula da regra da probabilidade total:

No nosso caso, o espaço amostral é composto por três eventos (A ₁ , A ₂ e A ₃ ), então a fórmula do teorema da probabilidade total é a seguinte:

É portanto suficiente substituir as probabilidades da expressão anterior para encontrar a probabilidade de adquirir um televisor com defeito:

Concluindo, há 3,7% de probabilidade de comprarmos uma TV e ela estar com defeito.

Teorema da probabilidade total e teorema de Bayes

O teorema da probabilidade total e o teorema de Bayes são dois teoremas importantes na teoria das probabilidades, principalmente porque nos permitem calcular probabilidades a partir de valores de probabilidade condicionais.

O teorema de Bayes é uma teoria da lei da probabilidade usada para calcular a probabilidade de um evento quando informações a priori sobre esse evento são conhecidas.

Especificamente, o teorema da probabilidade total e o teorema de Bayes estão relacionados; na verdade, o denominador da fórmula do teorema de Bayes é equivalente à fórmula do teorema da probabilidade total.

Clique no link a seguir para ver o que é o teorema de Bayes e exemplos de sua aplicação: