Teoria da probabilidade

By Agosto 1, 2023 Probabilidade 0 Comments

Este artigo explica o que é a teoria da probabilidade e para que ela é usada. Assim, você encontrará os conceitos básicos da teoria das probabilidades, bem como as propriedades e leis da teoria das probabilidades.

O que é teoria da probabilidade?

A teoria da probabilidade é um conjunto de regras e propriedades usadas para calcular a probabilidade de um fenômeno aleatório. Assim, a teoria da probabilidade nos permite saber qual resultado de um experimento aleatório tem maior probabilidade de ocorrer.

Tenha em mente que um fenômeno aleatório é um resultado que pode ser obtido a partir de um experimento cujo resultado não pode ser previsto, mas depende do acaso. A teoria da probabilidade é, portanto, um conjunto de leis que nos permite determinar a probabilidade de ocorrência de um fenômeno aleatório.

Por exemplo, quando lançamos uma moeda, podemos obter dois resultados possíveis: cara ou coroa. Bem, podemos usar a teoria da probabilidade para calcular a probabilidade de obter cara, que neste caso é de 50%.

Ao longo da história, muitas pessoas contribuíram para o desenvolvimento da teoria das probabilidades, entre as quais se destacam Cardano, Laplace, Gauss e Kolmogorov.

Noções básicas da teoria da probabilidade

Espaço amostral

Na teoria das probabilidades, o espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.

O símbolo do espaço amostral é a letra grega maiúscula Omega (Ω), embora também possa ser representado pela letra maiúscula E.

Por exemplo, o espaço amostral para lançar um dado é:

\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}

➤ Veja: Espaço amostral

Evento

Na teoria da probabilidade, um evento (ou ocorrência) é cada resultado possível de um experimento aleatório. Portanto, a probabilidade de um evento é um valor que indica a probabilidade de um resultado ocorrer.

Por exemplo, no lançamento de uma moeda, existem dois eventos: “cara” e “coroa”.

Existem diferentes tipos de eventos:

  • Evento elementar (ou evento simples): cada um dos resultados possíveis do experimento.
  • Evento composto: Este é um subconjunto do espaço amostral.
  • Certo Evento: Este é o resultado de uma experiência aleatória que sempre ocorrerá.
  • Evento Impossível: Este é o resultado de um experimento aleatório que nunca acontecerá.
  • Eventos compatíveis: dois eventos são compatíveis quando possuem um evento elementar em comum.
  • Eventos incompatíveis: dois eventos são incompatíveis quando não compartilham nenhum evento elementar.
  • Eventos independentes: Dois eventos são independentes se a probabilidade de um ocorrer não afeta a probabilidade do outro.
  • Eventos dependentes: Dois eventos são dependentes se a probabilidade de um ocorrer altera a probabilidade de o outro ocorrer.
  • Evento contrário a outro: aquele evento que ocorre quando o outro evento não ocorre.
➤ Veja: Tipos de eventos

Axiomas de probabilidade

Os axiomas de probabilidade são:

  1. Axioma de Probabilidade 1 : A probabilidade de um evento não pode ser negativa.

    2. 0\leq P(A)\leq 1

  2. Axioma de Probabilidade 2 : A probabilidade de um determinado evento é 1.

    3. P(\Omega)=1

  3. Axioma de Probabilidade 3 : A probabilidade de um conjunto de eventos incompatíveis é igual à soma de todas as probabilidades.

    4. A\cap B= \varnothing \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)

Propriedades de probabilidade

As propriedades de probabilidade são:

  1. A probabilidade de um evento é equivalente a um menos a probabilidade do evento oposto.

    2. P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)

  2. A probabilidade de um evento impossível é sempre zero.

    3. P(\varnothing)=0

  3. Se um evento estiver incluído em outro evento, a probabilidade do primeiro evento deve ser menor ou igual à probabilidade do segundo evento.

    4. A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)

  4. A probabilidade de união de dois eventos é igual à soma da probabilidade de cada evento ocorrer separadamente menos a probabilidade de sua intersecção.

    5. P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

  5. Dado um conjunto de eventos incompatíveis dois por dois, sua probabilidade conjunta é calculada somando a probabilidade de ocorrência de cada evento.

    6. P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)

  6. A soma das probabilidades de todos os eventos elementares em um espaço amostral é igual a 1.

    7. \Omega=\{A_1,A_2,\ldots,A_n\}

    P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)=1

Regras de probabilidade

Regra de Laplace

A regra de Laplace é uma regra probabilística usada para calcular a probabilidade de um evento ocorrer em um espaço amostral.

Mais especificamente, a regra de Laplace diz que a probabilidade de ocorrência de um evento é igual ao número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos possíveis. A fórmula para a regra de Laplace é, portanto, a seguinte:

P(A)=\cfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}

Por exemplo, se colocarmos 5 bolas verdes, 4 bolas azuis e 2 bolas amarelas num saco, podemos encontrar a probabilidade de tirar uma bola verde aleatoriamente usando a regra de Laplace:

P(\text{bola verde})=\cfrac{5}{5+4+2}=0,45

regra da soma

Na teoria das probabilidades, a regra da soma (ou regra da adição) diz que a soma das probabilidades de dois eventos é igual à soma da probabilidade de cada evento ocorrer separadamente menos a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem ao mesmo tempo. tempo. .

Portanto, a fórmula para a regra de adição é a seguinte:

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Você pode ver o passo a passo resolvido dos exercícios de aplicação da regra de adição no seguinte link:

regra de multiplicação

A regra da multiplicação (ou regra do produto) diz que a probabilidade conjunta de ocorrência de dois eventos independentes é igual ao produto da probabilidade de ocorrência de cada evento.

A fórmula para a regra de multiplicação é, portanto, a seguinte:

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

No entanto, a fórmula da regra de multiplicação varia dependendo se os eventos são independentes ou dependentes. Você pode ver qual é a fórmula da regra de multiplicação para eventos dependentes e exemplos de aplicação desta regra clicando aqui:

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Dr. Benjamin Anderson
Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais

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