Teste qui-quadrado

By Dr. benjamim anderson Agosto 2, 2023 Estatisticas 0 Comments

Este artigo explica o que é o teste qui-quadrado em estatística e para que é usado. Você também descobrirá como fazer o teste qui-quadrado e, além disso, um exercício resolvido passo a passo.

Qual é o teste do qui quadrado?

O teste Qui-quadrado é um teste estatístico utilizado para determinar se existe diferença estatisticamente significativa entre a frequência esperada e a frequência observada.

Logicamente, a estatística do teste qui-quadrado segue uma distribuição qui-quadrado . O valor da estatística de teste deve, portanto, ser comparado com um valor específico da distribuição qui-quadrado. A seguir veremos como é realizado o teste do qui quadrado.

Este tipo de teste estatístico também é conhecido como teste qui-quadrado de Pearson e às vezes é representado pelo símbolo da distribuição qui-quadrado: teste χ² .

Fórmula de teste qui-quadrado

A estatística do teste qui-quadrado é igual à soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores esperados dividida pelos valores esperados.

Portanto, a fórmula para o teste qui-quadrado é:

$\displaystyle\chi^2=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$

Ouro:

$\chi^2$

é a estatística do teste qui-quadrado, que segue uma distribuição qui-quadrado com

$k-1$

graus de liberdade.
$k$

é o tamanho da amostra de dados.
$O_i$

é o valor observado para os dados i.
$E_i$

é o valor esperado para os dados i.

A hipótese nula do teste de hipótese de um teste qui-quadrado é que os valores observados são equivalentes aos valores esperados. Por outro lado, a hipótese alternativa do teste é que um dos valores observados seja diferente do seu valor esperado.

$\begin{cases}H_0:O_i=E_i \quad \forall i\\[2ex]H_1:\exists \ O_i\neq E_i \end{cases}$

Então, dado um nível de significância

$\alpha$

, a estatística de teste calculada deve ser comparada com o valor crítico do teste para determinar se deve-se rejeitar a hipótese nula ou a hipótese alternativa:

Se a estatística de teste for menor que o valor crítico
$\chi_{1-\alpha|k-1}^2$

, a hipótese alternativa é rejeitada (e a hipótese nula é aceita).
Se a estatística de teste for maior que o valor crítico
$\chi_{1-\alpha|k-1}^2$

, a hipótese nula é rejeitada (e a hipótese alternativa é aceita).

$\begin{array}{l}\text{Si } \chi^2<\chi^2_{1-\alpha|k-1}\text{ se rechaza } H_1\\[3ex]\text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|k-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”70″ width=”243″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <h2 class=$ Exemplo do teste qui quadrado

Depois de vermos a definição do teste qui-quadrado e qual a sua fórmula, a seguir é apresentado um exemplo resolvido passo a passo para que você possa ver como esse tipo de teste estatístico é realizado.

O dono de uma loja diz que 50% de suas vendas são do produto A, 35% de suas vendas são do produto B e 15% de suas vendas são do produto C. Porém, as unidades vendidas de cada produto são aquelas que são apresentadas na tabela de contingência a seguir. Analise se os dados teóricos do proprietário são estatisticamente diferentes dos dados reais coletados.

produtos	Vendas observadas (O _i )
Produto A	453
Produto B	268
Produto C	79
Total	800

Primeiramente precisamos calcular os valores esperados pelo lojista. Para isso, multiplicamos o percentual de vendas esperadas de cada produto pelo número total de vendas alcançadas:

$\begin{array}{c}E_A=800\cdot 0,5=400\\[2ex]E_B=800\cdot 0,35=280\\[2ex]E_A=800\cdot 0,15=120\end{array}$

Portanto, a tabela de distribuição de frequência do problema é a seguinte:

produtos	Vendas observadas (O _i )	Vendas esperadas (E _i )
Produto A	453	400
Produto B	268	280
Produto C	79	120
Total	800	800

Agora que calculamos todos os valores, aplicamos a fórmula do teste qui-quadrado para calcular a estatística do teste:

$\begin{array}{c}\displaystyle\chi^2=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\\[6ex]\chi^2=\cfrac{(453-400)^2}{400}+\cfrac{(268-280)^2}{280}+\cfrac{(79-120)^2}{120}\\[6ex]\chi^2=7,02+0,51+14,00\\[6ex]\chi^2=21,53\end{array}$

Uma vez calculado o valor da estatística do teste, usamos a tabela de distribuição qui-quadrado para encontrar o valor crítico do teste. A distribuição qui-quadrado tem

$k-1=3-1=2$

graus de liberdade, então se escolhermos um nível de significância

$\alpha=0,05$

o valor crítico do teste é o seguinte:

$\begin{array}{c}\chi^2_{1-\alpha|k-1}=\ \color{orange}\bm{?}\color{black}\\[4ex]\chi^2_{0,95|2}=5,991\end{array}$

Assim, a estatística do teste (21,53) é maior que o valor crítico do teste (5,991), portanto, a hipótese nula é rejeitada e a hipótese alternativa é aceita. Isso significa que os dados são muito diferentes e, portanto, o lojista esperava vendas diferentes das realmente realizadas.

$21,53>5,991 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Se rechaza } H_0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”17″ width=”354″ style=”vertical-align: -4px;”></p> </p> <h2 class=$ Interpretação do teste qui quadrado

A interpretação do teste Qui-quadrado não pode ser feita apenas com o resultado do teste obtido, mas deve ser comparado com o valor crítico do teste.

Logicamente, quanto menor o valor da estatística de teste calculada, mais semelhantes são os dados observados aos dados esperados. Portanto, se o resultado do teste qui-quadrado for 0, isso implica que os valores observados e os valores esperados são exatamente iguais. Por outro lado, quanto maior o resultado do teste, isso significa que mais os valores observados são diferentes dos valores esperados.

Porém, para decidir se os dois conjuntos de dados são estatisticamente diferentes ou iguais, deve-se comparar o valor do teste calculado com o valor crítico do teste, a fim de rejeitar a hipótese nula ou a hipótese alternativa do contraste. Se a estatística de teste for menor que o valor crítico da distribuição, a hipótese alternativa é rejeitada. Por outro lado, se a estatística de teste for maior que o valor crítico da distribuição, a hipótese nula é rejeitada.

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Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais

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