Teste z

By Dr. benjamim anderson Agosto 3, 2023 Estatisticas 0 Comments

Este artigo explica o que é o teste Z em estatística e para que é usado. Você descobrirá, portanto, como fazer um teste Z, as diferentes fórmulas do teste Z e, finalmente, a diferença entre o teste Z e outros testes estatísticos.

O que é um teste Z?

Em estatística, o teste Z é um teste de hipótese usado quando a estatística do teste segue uma distribuição normal. A estatística obtida de um teste Z é chamada de estatística Z ou valor Z.

A fórmula do teste Z é sempre a mesma, mais precisamente, a estatística do teste Z é igual à diferença entre o valor amostral calculado e o valor populacional proposto dividido pelo desvio padrão do parâmetro populacional.

$Z=\cfrac{\widehat{X}-X}{\sigma_{_X}}$

O teste Z é usado para rejeitar ou aceitar a hipótese nula de testes de hipóteses nos quais a estatística do teste segue uma distribuição normal.

Por exemplo, o teste Z é usado para testar a hipótese da média quando a variância populacional é conhecida, a fim de rejeitar ou aceitar uma hipótese sobre o valor da média populacional.

➤ Veja: O que é teste de hipótese?

Tipos de testes Z

Diferentes tipos de testes Z podem ser distinguidos dependendo do parâmetro no qual o teste de hipótese é realizado:

Teste Z para média.
Teste Z para proporção.
Teste Z para diferença de médias.
Teste Z para diferença de proporções.

Abaixo você confere a fórmula para cada tipo de teste Z.

Teste Z para média

A fórmula do teste Z para a média é:

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Ouro:

$Z$

é a estatística do teste Z para a média.
$\overline{x}$

é a média da amostra.
$\mu$

é o valor médio proposto.
$\sigma$

é o desvio padrão da população.
$n$

é o tamanho da amostra.

Uma vez calculada a estatística do teste de hipótese para a média, o resultado deve ser interpretado para rejeitar ou rejeitar a hipótese nula:

Se o teste de hipótese para a média for bilateral, a hipótese nula é rejeitada se o valor absoluto da estatística for maior que o valor crítico Z _α/2 .
Se o teste de hipótese para a média corresponder à cauda direita, a hipótese nula será rejeitada se a estatística for maior que o valor crítico Z _α .
Se o teste de hipótese para a média corresponder à cauda esquerda, a hipótese nula será rejeitada se a estatística for menor que o valor crítico -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Os valores críticos do teste Z são obtidos na tabela de distribuição normal padrão.

➤ Veja: Teste de hipótese para a média

Teste Z para proporção

A fórmula do teste Z para proporção é:

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

Ouro:

$Z$

é a estatística do teste Z para proporção.
$\widehat{p}$

é a proporção da amostra.
$p$

é o valor da proporção proposta.
$n$

é o tamanho da amostra.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

é o desvio padrão da proporção.

Tenha em mente que não basta calcular a estatística do teste Z para a proporção, mas é preciso então interpretar o resultado obtido:

Se o teste de hipótese para a proporção for bilateral, a hipótese nula é rejeitada se o valor absoluto da estatística for maior que o valor crítico Z _α/2 .
Se o teste de hipótese para a proporção corresponder à cauda direita, a hipótese nula é rejeitada se a estatística for maior que o valor crítico Z _α .
Se o teste de hipótese para a proporção corresponder à cauda esquerda, a hipótese nula é rejeitada se a estatística for menor que o valor crítico -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

➤ Veja: Teste de hipótese para proporção

Teste Z para diferença de médias

A fórmula para calcular a estatística do teste Z para a diferença de médias é:

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\overline{x_1}-\overline{x_2})-(\mu_1-\mu_2)}{\displaystyle\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$

Ouro:

$Z$

é a estatística do teste Z para a diferença de duas médias com variância conhecida, que segue uma distribuição normal padrão.
$\mu_1$

é a média da população 1.
$\mu_2$

é a média da população 2.
$\overline{x_1}$

é a média da amostra 1.
$\overline{x_2}$

é a média da amostra 2.
$\sigma_1$

é o desvio padrão da população 1.
$\sigma_2$

é o desvio padrão da população 2.
$n_1$

é o tamanho da amostra 1.
$n_2$

é o tamanho da amostra 2.

➤ Veja: Teste de hipóteses para a diferença de médias

Teste Z para diferença de proporções

A fórmula para calcular a estatística do teste Z para a diferença nas proporções de duas populações é:

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle \sqrt{p_0(1-p_0)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}$

Ouro:

$Z$

é a estatística do teste Z para a diferença de proporções.
$p_1$

é a proporção da população 1.
$p_2$

é a proporção da população 2.
$\widehat{p_1}$

é a proporção da amostra 1.
$\widehat{p_2}$

é a proporção da amostra 2.
$n_1$

é o tamanho da amostra 1.
$n_2$

é o tamanho da amostra 2.
$p_0$

é a proporção combinada das duas amostras.

A proporção combinada das duas amostras é calculada da seguinte forma:

$p_0=\cfrac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$

Ouro

$x_i$

é o número de resultados na amostra iy

$n_i$

é o tamanho da amostra i.

➤ Veja: Teste de hipóteses para diferença em proporções

Como fazer um teste Z

Agora que vimos quais são as diferentes fórmulas do teste Z, vamos ver como realizar um teste Z.

As etapas para realizar um teste Z são as seguintes.

Defina a hipótese nula e a hipótese alternativa de teste de hipótese.
Decida o nível de significância alfa (α) do teste de hipótese.
Verifique se os requisitos para usar o teste Z foram atendidos.
Aplique a fórmula do teste Z correspondente e calcule a estatística do teste.
Interprete o resultado do teste Z comparando-o com o valor crítico do teste.

Teste Z e teste t

Por fim, veremos qual a diferença entre o teste Z e o teste t, pois são certamente os dois tipos de testes de hipóteses mais utilizados em estatística.

O teste t , também chamado de teste t de Student , é um teste de hipótese usado quando a população em estudo segue uma distribuição normal, mas o tamanho da amostra é muito pequeno para saber a variância da população.

Portanto, a principal diferença entre usar o teste Z e o teste t é se a variância é conhecida ou não. Quando a variância populacional é conhecida, utiliza-se o teste Z, enquanto quando a variância populacional é desconhecida, utiliza-se o teste t.

➤ Veja: teste t (estatísticas)

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Dr. benjamim anderson

Olá, sou Benjamin, um professor aposentado de estatística que se tornou professor dedicado na Statorials. Com vasta experiência e conhecimento na área de estatística, estou empenhado em compartilhar meu conhecimento para capacitar os alunos por meio de Statorials. Saber mais

O que é um teste Z?

Tipos de testes Z

Teste Z para média

Teste Z para proporção

Teste Z para diferença de médias

Teste Z para diferença de proporções

Como fazer um teste Z

Teste Z e teste t

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