{"id":1396,"date":"2023-07-26T13:29:57","date_gmt":"2023-07-26T13:29:57","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pt\/aproximacao-normal\/"},"modified":"2023-07-26T13:29:57","modified_gmt":"2023-07-26T13:29:57","slug":"aproximacao-normal","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pt\/aproximacao-normal\/","title":{"rendered":"Aproxima\u00e7\u00e3o binomial normal: defini\u00e7\u00e3o e exemplo"},"content":{"rendered":"<p><\/p>\n<hr>\n<p><span style=\"color: #000000;\">Se <em>X<\/em> for uma <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pt\/variaveis-aleatorias\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">vari\u00e1vel aleat\u00f3ria<\/a> que segue uma <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pt\/distribuicao-binomial-1\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">distribui\u00e7\u00e3o binomial<\/a> com <em>n<\/em> tentativas e <em>p<\/em> probabilidade de sucesso para uma determinada tentativa, ent\u00e3o podemos calcular a m\u00e9dia (\u03bc <em>)<\/em> e o desvio padr\u00e3o (\u03c3) de:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">\u03bc = np<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">\u03c3 = <span style=\"border-top: 1px solid black;\">\u221anp(1-p)<\/span><\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Acontece que se <em>n<\/em> for suficientemente grande, ent\u00e3o podemos utilizar a <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pt\/a-distribuicao-normal\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">distribui\u00e7\u00e3o normal<\/a> para aproximar as probabilidades relacionadas com a distribui\u00e7\u00e3o binomial. Isso \u00e9 chamado de <strong>aproxima\u00e7\u00e3o binomial normal<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Para que <em>n<\/em> seja \u201cgrande o suficiente\u201d, deve atender aos seguintes crit\u00e9rios:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">np \u2265 5<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">n(1-p) \u2265 5<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Quando ambos os crit\u00e9rios s\u00e3o atendidos, podemos usar a distribui\u00e7\u00e3o normal para responder quest\u00f5es de probabilidade relacionadas \u00e0 distribui\u00e7\u00e3o binomial.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">No entanto, a distribui\u00e7\u00e3o normal \u00e9 uma distribui\u00e7\u00e3o de probabilidade cont\u00ednua, enquanto a distribui\u00e7\u00e3o binomial \u00e9 uma distribui\u00e7\u00e3o de probabilidade discreta, por isso precisamos aplicar a corre\u00e7\u00e3o de continuidade ao calcular as probabilidades.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Simplificando, uma <strong>corre\u00e7\u00e3o de continuidade<\/strong> \u00e9 o nome dado \u00e0 adi\u00e7\u00e3o ou subtra\u00e7\u00e3o de 0,5 de um valor discreto de x.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Por exemplo, digamos que queremos determinar a probabilidade de uma moeda cair com cara menor ou igual a 45 vezes ao longo de 100 lan\u00e7amentos. Ou seja, queremos encontrar P(X \u2264 45). Para usar a distribui\u00e7\u00e3o normal para aproximar a distribui\u00e7\u00e3o binomial, encontrar\u00edamos P(X \u2264 45,5).<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">A tabela a seguir mostra quando voc\u00ea deve adicionar ou subtrair 0,5, dependendo do tipo de probabilidade que voc\u00ea est\u00e1 tentando encontrar:<\/span><\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Use a distribui\u00e7\u00e3o binomial<\/strong><\/span><\/th>\n<th> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Usando a distribui\u00e7\u00e3o normal com corre\u00e7\u00e3o de continuidade<\/strong><\/span><\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X = 45<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">44,5 &lt; X &lt; 45,5<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X \u2264 45<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X &lt; 45,5<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X &lt; 45<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X &lt; 44,5<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X \u2265 45<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X &gt; 44,5<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X &gt; 45<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"> <span style=\"color: #000000;\">X &gt; 45,5<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">O exemplo passo a passo a seguir mostra como usar a distribui\u00e7\u00e3o normal para aproximar a distribui\u00e7\u00e3o binomial.<\/span><\/p>\n<h3> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Exemplo: aproxima\u00e7\u00e3o normal do bin\u00f4mio<\/strong><\/span><\/h3>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Suponha que queiramos saber a probabilidade de uma moeda cair com cara menor ou igual a 43 vezes em 100 lan\u00e7amentos.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Nesta situa\u00e7\u00e3o temos os seguintes valores:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>n<\/strong> (n\u00famero de tentativas) = 100<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>X<\/strong> (n\u00famero de sucessos) = 43<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\"><strong>p<\/strong> (probabilidade de sucesso em uma determinada tentativa) = 0,50<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Para calcular a probabilidade de a moeda cair em cara menor ou igual a 43 vezes, podemos usar os seguintes passos:<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Passo 1: Verifique se o tamanho da amostra \u00e9 grande o suficiente para usar a aproxima\u00e7\u00e3o normal.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Em primeiro lugar, precisamos verificar se os seguintes crit\u00e9rios s\u00e3o atendidos:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">np \u2265 5<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">n(1-p) \u2265 5<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Neste caso temos:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">np = 100*0,5 = 50<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">n(1-p) = 100*(1 \u2013 0,5) = 100*0,5 = 50<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Ambos os n\u00fameros s\u00e3o maiores que 5, portanto podemos usar com seguran\u00e7a a aproxima\u00e7\u00e3o normal.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Etapa 2: Determine a corre\u00e7\u00e3o de continuidade a ser aplicada.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Referindo-nos \u00e0 tabela acima, vemos que devemos somar 0,5 ao trabalhar com probabilidade na forma de X \u2264 43. Assim, encontraremos P(X&lt; 43,5).<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Etapa 3: Encontre a m\u00e9dia (\u03bc) e o desvio padr\u00e3o (\u03c3) da distribui\u00e7\u00e3o binomial.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>\u00b5<\/strong> = n*p = 100*0,5 = 50<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>\u03c3<\/strong> = \u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">n*p*(1-p)<\/span> = \u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">100*0,5*(1-0,5)<\/span> = \u221a <span style=\"text-decoration: overline;\">25<\/span> = 5<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Passo 4: Encontre o escore z usando a m\u00e9dia e o desvio padr\u00e3o encontrados na etapa anterior.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>z<\/strong> = (x \u2013 \u03bc) \/ \u03c3 = (43,5 \u2013 50) \/ 5 = -6,5 \/ 5 = -1,3.<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\"><strong>Etapa 5: Encontre a probabilidade associada ao escore z.<\/strong><\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Podemos usar a <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pt\/calculadora-cdf-normal-rapida\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">calculadora CDF normal<\/a> para descobrir que a \u00e1rea sob a curva normal padr\u00e3o \u00e0 esquerda de -1,3 \u00e9 <strong>0,0968<\/strong> .<\/span><\/p>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Portanto, a probabilidade de uma moeda dar cara menor ou igual a 43 vezes em 100 lan\u00e7amentos \u00e9 <strong>0,0968<\/strong> .<\/span><\/p>\n<hr>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Este exemplo ilustra o seguinte:<\/span><\/p>\n<ul>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Tivemos uma situa\u00e7\u00e3o em que uma vari\u00e1vel aleat\u00f3ria seguiu uma distribui\u00e7\u00e3o binomial.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Quer\u00edamos determinar a probabilidade de obter um determinado valor para esta vari\u00e1vel aleat\u00f3ria.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color: #000000;\">Como o tamanho da amostra (n = 100 ensaios) foi grande o suficiente, pudemos usar a distribui\u00e7\u00e3o normal para aproximar a distribui\u00e7\u00e3o binomial.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p> <span style=\"color: #000000;\">Este \u00e9 um exemplo completo de como usar a aproxima\u00e7\u00e3o normal para encontrar probabilidades relacionadas \u00e0 distribui\u00e7\u00e3o binomial.<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Se X for uma vari\u00e1vel aleat\u00f3ria que segue uma distribui\u00e7\u00e3o binomial com n tentativas e p probabilidade de sucesso para uma determinada tentativa, ent\u00e3o podemos calcular a m\u00e9dia (\u03bc ) e o desvio padr\u00e3o (\u03c3) de: \u03bc = np \u03c3 = \u221anp(1-p) Acontece que se n for suficientemente grande, ent\u00e3o podemos utilizar a distribui\u00e7\u00e3o normal [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[11],"tags":[],"class_list":["post-1396","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-guia"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v21.5 - 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