O m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados<\/strong> \u00e9 um m\u00e9todo estat\u00edstico usado para determinar a equa\u00e7\u00e3o de uma regress\u00e3o. Ou seja, o m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados \u00e9 um crit\u00e9rio utilizado em um modelo de regress\u00e3o para minimizar o erro obtido no c\u00e1lculo da equa\u00e7\u00e3o de regress\u00e3o.<\/p>\n Concretamente, o m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados consiste em minimizar a soma dos quadrados dos res\u00edduos, ou seja, baseia-se na minimiza\u00e7\u00e3o da soma dos quadrados das diferen\u00e7as entre os valores previstos pelo modelo de regress\u00e3o e os valores observados . . A seguir veremos em detalhes como um modelo de regress\u00e3o \u00e9 ajustado pelo crit\u00e9rio dos m\u00ednimos quadrados.<\/p>\n A principal caracter\u00edstica do m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados \u00e9 que as maiores dist\u00e2ncias entre os valores observados e a fun\u00e7\u00e3o de regress\u00e3o s\u00e3o minimizadas. Ao contr\u00e1rio de outros crit\u00e9rios de regress\u00e3o, o m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados considera mais importante minimizar res\u00edduos grandes do que res\u00edduos pequenos, uma vez que o quadrado de um n\u00famero grande \u00e9 muito maior que o quadrado de um n\u00famero pequeno. n\u00famero.<\/p>\n Para compreender completamente o conceito de m\u00ednimos quadrados, devemos primeiro ter clareza sobre o que s\u00e3o res\u00edduos em um modelo de regress\u00e3o. Veremos, portanto, a seguir o que \u00e9 um erro de estimativa e como ele \u00e9 calculado.<\/p>\n Em estat\u00edstica, o erro de estima\u00e7\u00e3o<\/strong> , tamb\u00e9m denominado residual<\/strong> , \u00e9 a diferen\u00e7a entre o valor verdadeiro e o valor ajustado pelo modelo de regress\u00e3o. Um res\u00edduo estat\u00edstico \u00e9, portanto, calculado da seguinte forma:<\/p>\n<\/p>\n Ouro:<\/p>\n \u00e9 o res\u00edduo dos dados i.<\/li>\n \u00e9 o valor real dos dados i.<\/li>\n \u00e9 o valor fornecido pelo modelo de regress\u00e3o para os dados i.<\/li>\n<\/ul>\n Assim, quanto maior o res\u00edduo de um dado, mais mal o modelo de regress\u00e3o est\u00e1 adaptado a esse dado. Assim, quanto menor for um res\u00edduo, menor ser\u00e1 a dist\u00e2ncia entre o seu valor real e o seu valor previsto.<\/p>\n Da mesma forma, se o res\u00edduo de um dado for positivo, significa que o modelo de regress\u00e3o prev\u00ea um valor inferior ao valor verdadeiro. ao passo que se o res\u00edduo for negativo, significa que o valor previsto \u00e9 maior que o valor real. <\/p>\n Agora que sabemos o que \u00e9 um res\u00edduo nas estat\u00edsticas, ser\u00e1 mais f\u00e1cil entender como os quadrados de erro s\u00e3o minimizados.<\/p>\n O quadrado de um erro<\/strong> \u00e9 o quadrado de um res\u00edduo, portanto o quadrado de um erro \u00e9 igual \u00e0 diferen\u00e7a entre o valor verdadeiro e o valor ajustado pelo modelo de regress\u00e3o elevado \u00e0 pot\u00eancia de dois.<\/p>\n<\/p>\n Ouro:<\/p>\n \u00e9 o quadrado do res\u00edduo dos dados i.<\/li>\n \u00e9 o valor real dos dados i.<\/li>\n \u00e9 o valor fornecido pelo modelo de regress\u00e3o para os dados i.<\/li>\n<\/ul>\n Assim, o m\u00e9todo dos m\u00ednimos quadrados consiste em criar um modelo de regress\u00e3o minimizando a soma dos quadrados dos erros<\/strong> . O crit\u00e9rio dos m\u00ednimos quadrados baseia-se, portanto, na minimiza\u00e7\u00e3o da seguinte express\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n \u00c9 por isso que o crit\u00e9rio dos m\u00ednimos quadrados tamb\u00e9m \u00e9 chamado de crit\u00e9rio dos m\u00ednimos quadrados.<\/p>\n Como voc\u00ea pode ver na f\u00f3rmula anterior, o crit\u00e9rio dos m\u00ednimos quadrados d\u00e1 mais import\u00e2ncia \u00e0 minimiza\u00e7\u00e3o de res\u00edduos grandes do que a res\u00edduos pequenos. Por exemplo, se um res\u00edduo for 3 e outro res\u00edduo for 5, seus quadrados ser\u00e3o 9 e 25 respectivamente, ent\u00e3o o crit\u00e9rio dos m\u00ednimos quadrados priorizar\u00e1 a minimiza\u00e7\u00e3o do segundo res\u00edduo antes do primeiro res\u00edduo. <\/p>\n Ajustar um modelo de regress\u00e3o pelo crit\u00e9rio dos m\u00ednimos quadrados<\/strong> consiste em encontrar um modelo de regress\u00e3o que minimize os quadrados dos res\u00edduos. Portanto, a equa\u00e7\u00e3o obtida a partir do modelo de regress\u00e3o ser\u00e1 aquela cujos quadrados das diferen\u00e7as entre os valores observados e os valores ajustados sejam m\u00ednimos.<\/p>\n Observe no exemplo a seguir que existem mais crit\u00e9rios para a cria\u00e7\u00e3o de um modelo de regress\u00e3o e, dependendo do crit\u00e9rio escolhido, a equa\u00e7\u00e3o de regress\u00e3o \u00e9 diferente. <\/p>\n Como voc\u00ea pode ver nos exemplos anteriores, a reta obtida do modelo de regress\u00e3o linear para o mesmo conjunto de dados depende do crit\u00e9rio escolhido. Geralmente, o crit\u00e9rio dos m\u00ednimos quadrados \u00e9 usado em modelos de regress\u00e3o.<\/p>\n Em estat\u00edstica, o modelo de regress\u00e3o mais utilizado \u00e9 o modelo de regress\u00e3o linear simples, que consiste em aproximar a rela\u00e7\u00e3o entre a vari\u00e1vel independente X e a vari\u00e1vel dependente Y por meio de uma linha reta.<\/p>\n<\/p>\n Portanto, as f\u00f3rmulas para ajustar um conjunto de dados a um modelo de regress\u00e3o linear simples s\u00e3o:<\/p>\n<\/p>\n Voc\u00ea pode ver um exemplo de como um modelo de regress\u00e3o linear simples \u00e9 calculado usando o crit\u00e9rio dos m\u00ednimos quadrados clicando no link a seguir: <\/p>\n<\/span> Erro de estimativa<\/span><\/h2>\n
![\"e_i=y_i-\\widehat{y}_i\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2028e64ca2c0035860e93c4bf244e2f1_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
![\"e_i\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-550848dfdd05b5c6464d4e22fbf52486_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"y_i\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-761333a1d61654bd1cb5c7224b0d1994_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n![\"\\widehat{y}_i\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a990a8fe969bd365cba7899d3d1c4406_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/span> Minimize os quadrados de erro<\/span><\/h2>\n
![\"e_i^2=(y_i-\\widehat{y}_i)^2\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f16302b9c06981bd49aad51ca8924592_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n\n
![\"e_i^2\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-56f396eccc309c513ef34dc82f6fcd9b_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/p>\n![\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0a82d4d723b77093b4d584609f372cd7_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n<\/span> Ajuste de m\u00ednimos quadrados<\/span><\/h2>\n
![\"m\u00e9todo](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/ajustement-par-les-moindres-carres.png\")
<\/figure>\n![\"y=b_0+b_1x\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-92da05e7be03363fecef8974393a84fd_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"b_1=\\cfrac{\\displaystyle](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-f4582a02500f36499fc60647a4dd5869_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n![\"b_0=\\overline{y}-b_1\\overline{x}\"](\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-369b22bafb2489dc46579d38f5ac6917_l3.png\" "\\"Rendered")
<\/p>\n<\/p>\n