{"id":37,"date":"2023-08-06T08:15:33","date_gmt":"2023-08-06T08:15:33","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pt\/probabilidade-condicional-condicional\/"},"modified":"2023-08-06T08:15:33","modified_gmt":"2023-08-06T08:15:33","slug":"probabilidade-condicional-condicional","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pt\/probabilidade-condicional-condicional\/","title":{"rendered":"Probabilidade condicional (ou probabilidade condicional)"},"content":{"rendered":"

Aqui voc\u00ea descobrir\u00e1 o que \u00e9 probabilidade condicional (ou probabilidade condicional). Explicamos como a probabilidade condicional \u00e9 calculada com um exemplo e as propriedades deste tipo de probabilidade. Al\u00e9m disso, voc\u00ea poder\u00e1 praticar exerc\u00edcios de probabilidade condicional resolvidos passo a passo. <\/p>\n

<\/span> O que \u00e9 probabilidade condicional?<\/span><\/h2>\n

Probabilidade condicional<\/strong> , tamb\u00e9m chamada de probabilidade condicional<\/strong> , \u00e9 uma medida estat\u00edstica que indica a probabilidade de que o evento A ocorra se outro evento B ocorrer. Ou seja, a probabilidade condicional P(A|B) refere-se \u00e0 probabilidade do evento A ocorrer ap\u00f3s o evento B j\u00e1 ter ocorrido.<\/p>\n

A probabilidade condicional \u00e9 escrita com uma barra vertical entre os dois eventos: P(A|B), e diz: \u201ca probabilidade condicional do evento A dado o evento B\u201d.<\/p>\n

Observe que o valor da probabilidade condicional \u00e9 um n\u00famero entre 0 e 1. Quanto maior a probabilidade condicional, maior a probabilidade de o evento A ocorrer quando o evento B ocorrer, mas quanto menor a probabilidade condicional, menor a probabilidade de o evento A ocorrer. ocorrer\u00e1 quando o evento B ocorrer. <\/p>\n

<\/span> F\u00f3rmula de Probabilidade Condicional<\/span><\/h2>\n

A probabilidade condicional do evento A dado o evento B<\/strong> \u00e9 igual \u00e0 probabilidade da interse\u00e7\u00e3o entre o evento A e o evento B dividida pela probabilidade do evento B. <\/p>\n

\"probabilidade<\/figure>\n

Observe que a f\u00f3rmula de probabilidade condicional (ou probabilidade condicional) s\u00f3 pode ser usada se a probabilidade de ocorr\u00eancia do evento incondicionado for diferente de zero, ou seja, P(B)\u22600. Ou, em outras palavras, se \u00e9 poss\u00edvel que o evento B ocorra.<\/p>\n

A probabilidade condicional tamb\u00e9m pode ser calculada a partir do seu inverso, ou seja, se P(B|A) for conhecido, P(A|B) pode ser determinado. Mas para fazer isso voc\u00ea deve aplicar o teorema de Bayes, voc\u00ea pode ver em que consiste esse teorema aqui: <\/p>\n

\u27a4<\/span> Veja:<\/strong> O que \u00e9 o teorema de Bayes?<\/a> <\/div>\n

<\/span> Exemplo de probabilidade condicional<\/span><\/h2>\n

Depois de vermos qual \u00e9 a defini\u00e7\u00e3o e f\u00f3rmula da probabilidade condicional, resolveremos passo a passo um exemplo deste tipo de probabilidade para compreender completamente o seu significado.<\/p>\n

    \n
  • Depois de fazer um exame em uma turma de 30 alunos, foram coletados dados para saber quantos alunos estudaram e quantos foram aprovados. Os resultados s\u00e3o apresentados na tabela de conting\u00eancia a seguir. A partir dos dados coletados, calcule a probabilidade condicional de aprova\u00e7\u00e3o em um exame caso voc\u00ea j\u00e1 tenha estudado. <\/li>\n<\/ul>\n
    \"exerc\u00edcio<\/figure>\n

    Para obter a probabilidade condicional, devemos aplicar a f\u00f3rmula que vimos anteriormente:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{aprobado}|\\text{estudiado})=\\cfrac{P(\\text{aprobado}\\cap\\text{estudiado})}{P(\\text{estudiado})}\"<\/p>\n<\/p>\n

    Portanto, primeiro precisamos encontrar a probabilidade de um aluno ter estudado, estudado e aprovado. Para encontrar a probabilidade de um aluno ter estudado basta usar a regra de Laplace, ou seja, dividir o n\u00famero de alunos que estudaram pelo n\u00famero total de observa\u00e7\u00f5es:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{estudiado})=\\cfrac{23}{30}=0,77\"<\/p>\n<\/p>\n

    E podemos descobrir a probabilidade de um aluno ter estudado e aprovado ao mesmo tempo na tabela de conting\u00eancia dividindo o n\u00famero de alunos que estudaram e aprovados pelo total:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{aprobado}\\cap<\/p>\n<\/p>\n

    Assim, a probabilidade de um aluno passar em um exame se tiver estudado \u00e9: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\begin{aligned}P(\\text{aprobado}|\\text{estudiado})&=\\cfrac{P(\\text{aprobado}\\cap\\text{estudiado})}{P(\\text{estudiado})}\\\\<\/p>\n<\/p>\n

    <\/span> Probabilidade condicional de eventos dependentes e independentes<\/span><\/h2>\n

    Nesta se\u00e7\u00e3o veremos qual \u00e9 a rela\u00e7\u00e3o entre probabilidade condicional e eventos dependentes e independentes (ou eventos dependentes e independentes). Porque, embora sejam conceitos diferentes, estes dois tipos de eventos est\u00e3o ligados a uma probabilidade condicional.<\/p>\n

    Dois eventos (ou ocorr\u00eancias) s\u00e3o independentes quando a probabilidade de ocorr\u00eancia n\u00e3o depende um do outro. Nesse caso, a intersec\u00e7\u00e3o entre os dois eventos \u00e9 equivalente ao produto da probabilidade de cada evento separadamente. E, portanto, a f\u00f3rmula da probabilidade condicional \u00e9 simplificada:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(A|B)=\\cfrac{P(A\\cap<\/p>\n<\/p>\n

    Resumindo, se os eventos A e B s\u00e3o independentes, a probabilidade condicional do evento A dado o evento B \u00e9 exatamente igual \u00e0 probabilidade de ocorr\u00eancia do evento A.<\/strong><\/p>\n

    Por outro lado, quando dois eventos s\u00e3o dependentes, significa que a probabilidade de um evento depende da probabilidade do outro evento. Portanto, quando dois eventos A e B s\u00e3o dependentes, a probabilidade condicional do evento A dado o evento B \u00e9 diferente da probabilidade de ocorr\u00eancia do evento A.<\/strong> <\/p>\n<\/p>\n

    \"P(A|B)\\neq<\/p>\n<\/p>\n

    <\/span> Exerc\u00edcios de probabilidade condicional resolvidos<\/span><\/h2>\n

    Exerc\u00edcio 1<\/h3>\n

    Sabemos que num saco cheio de bolas, metade \u00e9 laranja e a outra metade \u00e9 verde. Al\u00e9m disso, um ter\u00e7o de todas as bolas s\u00e3o laranja e ao mesmo tempo marcadas com um sinal. Qual \u00e9 a probabilidade de que quando voc\u00ea tira uma bola laranja ela receba o sinal? <\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Para resolver o exerc\u00edcio, devemos aplicar a f\u00f3rmula condicional de probabilidade, que \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{se\\~nal}|\\text{naranja})=\\cfrac{P(\\text{se\\~nal}\\cap\\text{naranja})}{P(\\text{naranja})}\"<\/p>\n<\/p>\n

    A defini\u00e7\u00e3o do problema nos diz que metade da sacola \u00e9 composta de laranjas. Portanto, a probabilidade te\u00f3rica de pegar uma bola laranja \u00e9 de 50%.<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{naranja})=\\cfrac{1}{2}=0,5\"<\/p>\n<\/p>\n

    Por outro lado, sabemos que um ter\u00e7o do total s\u00e3o bolas laranja e t\u00eam sinal, ent\u00e3o a probabilidade de obter uma bola laranja com sinal \u00e9:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{se\\~nal}\\cap<\/p>\n<\/p>\n

    Finalmente, substitu\u00edmos as probabilidades calculadas na f\u00f3rmula de probabilidade condicional para encontrar seu valor:<\/p>\n<\/p>\n

    \"\\begin{aligned}P(\\text{se\\~nal}|\\text{naranja})&=\\cfrac{P(\\text{se\\~nal}\\cap\\text{naranja})}{P(\\text{naranja})}\\\\<\/p>\n<\/p>\n

    Em resumo, a probabilidade de tirar uma bola com o sinal laranja \u00e9 de 66%.<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 2<\/h3>\n

    Se tivermos seis canetas azuis e tr\u00eas canetas pretas numa caixa, calcule a probabilidade de desenhar uma \u00fanica caneta azul e a probabilidade de desenhar duas canetas azuis consecutivamente. <\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Para determinar a probabilidade de pegar uma caneta azul uma vez, basta usar a lei de Laplace:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{azul})=\\cfrac{6}{6+3}=0,67\"<\/p>\n<\/p>\n

    O problema tamb\u00e9m nos pede para saber a probabilidade de pegar duas canetas azuis consecutivamente, ou seja, a probabilidade condicional de pegar uma caneta azul se j\u00e1 tivermos pegado uma caneta azul antes.<\/p>\n

    Se desenharmos uma caneta azul, temos um caso menos favor\u00e1vel, mas tamb\u00e9m h\u00e1 uma caneta a menos no total. A probabilidade condicional \u00e9, portanto: <\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{azul}|\\text{azul})=\\cfrac{5}{8}=0,63\"<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 3<\/h3>\n

    Qual \u00e9 a probabilidade condicional de lan\u00e7ar um dado at\u00e9 o n\u00famero 4, dado que o lan\u00e7amento de uma moeda resulta em cara? <\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    Para resolver este exerc\u00edcio, deve-se levar em considera\u00e7\u00e3o a teoria da probabilidade condicional, pois os eventos \u201cobter o n\u00famero 4 jogando um dado\u201d<\/em> e \u201cobter cara jogando uma moeda\u201d<\/em> s\u00e3o independentes. Portanto, n\u00e3o \u00e9 necess\u00e1rio usar a f\u00f3rmula de probabilidade condicional, mas a seguinte igualdade \u00e9 satisfeita:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{n\\'umero<\/p>\n<\/p>\n

    Ent\u00e3o, para encontrar a probabilidade condicional, basta usar a regra de Laplace: <\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{n\\'umero<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    Exerc\u00edcio 4<\/h3>\n

    Foi estudado o exerc\u00edcio financeiro de 25 empresas de um pa\u00eds e como os pre\u00e7os de suas a\u00e7\u00f5es mudam dependendo do resultado econ\u00f4mico do ano. Voc\u00ea pode ver os dados coletados na seguinte tabela de conting\u00eancia: <\/p>\n

    \"exerc\u00edcio<\/figure>\n

    Qual a probabilidade de o pre\u00e7o das a\u00e7\u00f5es de uma empresa aumentar se ela obteve lucro no ano passado? <\/p>\n

    \n
    Veja a solu\u00e7\u00e3o<\/strong><\/div>\n<\/div>\n

    O exerc\u00edcio questiona-nos sobre a probabilidade condicional de as a\u00e7\u00f5es subirem, dado que a empresa obteve um resultado econ\u00f3mico positivo. Ent\u00e3o, para calcular essa probabilidade, devemos usar a f\u00f3rmula de probabilidade condicional:<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{precio<\/p>\n<\/p>\n

    Portanto, calculamos primeiro a probabilidade de uma empresa obter lucro e, em segundo lugar, a probabilidade de uma empresa obter lucro econ\u00f3mico enquanto aumenta o seu pre\u00e7o por a\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{beneficio})=\\cfrac{14}{25}=0,56\"<\/p>\n<\/p>\n

    \"P(\\text{precio<\/p>\n<\/p>\n

    E ent\u00e3o substitu\u00edmos os valores encontrados na f\u00f3rmula e calculamos a probabilidade condicional: <\/p>\n<\/p>\n

    \"\\begin{aligned}P(\\text{precio<\/p>\n<\/p>\n

    <\/div>\n

    <\/span> Propriedades da probabilidade condicional<\/span><\/h2>\n

    As propriedades da probabilidade condicional, ou probabilidade condicional, s\u00e3o as seguintes:<\/p>\n

      \n
    • A soma da probabilidade condicional do evento A dado evento B mais a probabilidade condicional do evento complementar A dado evento B \u00e9 igual a um.<\/li>\n<\/ul>\n

      \"<\/p>\n<\/p>\n

        \n
      • Se o evento A for um subconjunto do evento B, A sempre ocorrer\u00e1 quando B for verdadeiro. Assim, a probabilidade condicional do evento A dado o evento B nesses casos \u00e9 1.<\/li>\n<\/ul>\n

        \"B\\subseteq<\/p>\n<\/p>\n

          \n
        • Dados dois eventos diferentes, a seguinte igualdade em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 probabilidade condicional sempre \u00e9 v\u00e1lida:<\/li>\n<\/ul>\n

          \"P\\bigl(A\\bigr)=P\\bigl(A|B\\bigr)\\cdot<\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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