{"id":378,"date":"2023-08-01T11:32:01","date_gmt":"2023-08-01T11:32:01","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pt\/teorema-da-probabilidade-total\/"},"modified":"2023-08-01T11:32:01","modified_gmt":"2023-08-01T11:32:01","slug":"teorema-da-probabilidade-total","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pt\/teorema-da-probabilidade-total\/","title":{"rendered":"Teorema da probabilidade total"},"content":{"rendered":"<p>Este artigo explica o que \u00e9 o teorema da probabilidade total e para que ele \u00e9 usado em probabilidade e estat\u00edstica. Assim, voc\u00ea encontrar\u00e1 a f\u00f3rmula do teorema da probabilidade total, os exerc\u00edcios resolvidos e quando o teorema da probabilidade total \u00e9 utilizado. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-el-teorema-de-la-probabilidad-total\"><\/span> Qual \u00e9 o teorema da probabilidade total?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Na teoria das probabilidades, o <strong>teorema da probabilidade total<\/strong> \u00e9 uma lei que permite calcular a probabilidade de um evento que n\u00e3o faz parte de um espa\u00e7o amostral a partir das <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pt\/probabilidade-condicional-condicional\/\">probabilidades condicionais<\/a> de todos os eventos nesse espa\u00e7o amostral.<\/p>\n<p> Assim, o teorema da probabilidade total \u00e9 usado para calcular a probabilidade de um evento espec\u00edfico com base em informa\u00e7\u00f5es parciais sobre esse evento. \u00c0s vezes n\u00e3o podemos determinar a probabilidade de um evento aplicando diretamente a regra de Laplace porque n\u00e3o temos todas as informa\u00e7\u00f5es necess\u00e1rias. Mas se conhecermos dados sobre este evento em rela\u00e7\u00e3o a outros eventos, o teorema da probabilidade total \u00e9 geralmente \u00fatil.<\/p>\n<p> Resumindo, o teorema da probabilidade total \u00e9 usado quando queremos calcular a probabilidade de um evento, mas s\u00f3 temos informa\u00e7\u00f5es sobre ele sob certas condi\u00e7\u00f5es. Por exemplo, algumas aplica\u00e7\u00f5es deste teorema envolvem experimentos com m\u00faltiplos casos, teoria das filas e an\u00e1lise de sobreviv\u00eancia. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Veja:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pt\/regra-de-laplace-ou-lei-de-laplace\/\">Regra de Laplace<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"formula-del-teorema-de-la-probabilidad-total\"><\/span> F\u00f3rmula para o teorema da probabilidade total<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> O teorema da probabilidade total diz que dado um conjunto de eventos {A <sub>1<\/sub> , A <sub>2<\/sub> ,\u2026, A <sub>n<\/sub> } que formam uma parti\u00e7\u00e3o no espa\u00e7o amostral, a probabilidade do evento B \u00e9 igual \u00e0 soma dos produtos da probabilidade de cada evento P(A <sub>i<\/sub> ) pela probabilidade condicional P(B|A <sub>i<\/sub> ).<\/p>\n<p> Portanto, a <strong>f\u00f3rmula para o teorema da probabilidade total<\/strong> \u00e9: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/theoreme-de-probabilite-totale.png\" alt=\"f\u00f3rmula para o teorema da probabilidade total\" class=\"wp-image-8595\" width=\"291\" height=\"320\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p style=\"margin-bottom:7px\"> Ouro:<\/p>\n<ul style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3cf84b3bfcc955798a43fce91458ff42_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"41\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> \u00e9 a probabilidade de que o evento B ocorra.<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-676b61239ea67554603513360fbea72b_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(B|A_i)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"65\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> \u00e9 a probabilidade condicional do evento B dado o evento A <sub>i<\/sub> .<\/li>\n<li style=\"margin-bottom:8px\">\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-be31252343b496b792bee3e55a99979f_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"P(A_i)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"46\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<p> \u00e9 a probabilidade de que o evento A <sub>i<\/sub> ocorra.<\/li>\n<\/ul>\n<p> Tenha em mente que, em probabilidade, uma parti\u00e7\u00e3o do espa\u00e7o amostral \u00e9 definida como um conjunto de eventos mutuamente incompat\u00edveis cuja uni\u00e3o forma o espa\u00e7o amostral. <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Veja:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pt\/espaco-amostral-1\/\">Espa\u00e7o amostral<\/a> <\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-resuelto-del-teorema-de-la-probabilidad-total\"><\/span> Exemplo concreto do teorema da probabilidade total<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Depois de ver a defini\u00e7\u00e3o do teorema da probabilidade total e qual \u00e9 sua f\u00f3rmula, veremos um exerc\u00edcio resolvido sobre como uma probabilidade \u00e9 calculada com o teorema da probabilidade total para entender melhor seu significado.<\/p>\n<ul>\n<li> Uma loja de eletr\u00f4nicos vende tr\u00eas marcas de televisores: X, Y, Z. Estima-se que 20% das vendas sejam de televisores da marca, % de televisores da marca com defeito e 4% de televisores da marca Z. televisores est\u00e3o com defeito. Qual \u00e9 a probabilidade de comprar uma TV com defeito?<\/li>\n<\/ul>\n<p> A defini\u00e7\u00e3o do problema nos d\u00e1 as probabilidades de um cliente comprar cada marca de TV:<\/p>\n<ul>\n<li> Evento A <sub>1<\/sub> : Um cliente compra <sub>uma<\/sub> marca de televis\u00e3o<\/li>\n<li> Evento A <sub>2<\/sub> : Um cliente compra uma televis\u00e3o da marca Y \u2192 P(A <sub>2<\/sub> )=0,50<\/li>\n<li> Evento A <sub>3<\/sub> : Um cliente compra uma marca de televis\u00e3o Z \u2192 P(A <sub>3<\/sub> )=0,30<\/li>\n<\/ul>\n<p> Al\u00e9m disso, a declara\u00e7\u00e3o do exerc\u00edcio tamb\u00e9m nos fornece a probabilidade de uma televis\u00e3o de cada marca estar com defeito:<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"> Evento B: A TV est\u00e1 com defeito<\/p>\n<ul>\n<li> B|A <sub>1<\/sub> : Dado um televisor da marca X, o televisor est\u00e1 com defeito \u2192 P(B|A <sub>1<\/sub> )=0,05<\/li>\n<li> B|A <sub>2<\/sub> : Dada uma marca de televis\u00e3o Y, a televis\u00e3o est\u00e1 com defeito \u2192 P(B|A <sub>2<\/sub> )=0,03<\/li>\n<li> B|A <sub>3<\/sub> : Dado um televisor da marca Z, o televisor est\u00e1 com defeito \u2192 P(B|A <sub>3<\/sub> )=0,04<\/li>\n<\/ul>\n<p> Assim, a <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pt\/diagrama-de-arvore\/\">\u00e1rvore de probabilidade<\/a> do problema \u00e9 a seguinte: <\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"370\" height=\"257\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/theoreme-de-probabilite-de-bayes.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-8525\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<p> Portanto, para calcular a probabilidade de comprar uma TV com defeito, precisamos usar a f\u00f3rmula da regra da probabilidade total:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4bd2e4c30e05d7abab89dabb7b85cd6d_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P(B)=\\sum_{i=1}^n P(B|A_i)\\cdot P(A_i)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"49\" width=\"218\" style=\"vertical-align: -21px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> No nosso caso, o espa\u00e7o amostral \u00e9 composto por tr\u00eas eventos (A <sub>1<\/sub> , A <sub>2<\/sub> e A <sub>3<\/sub> ), ent\u00e3o a f\u00f3rmula do teorema da probabilidade total \u00e9 a seguinte:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0fe9d6f5c6241bf124144269ba498188_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\displaystyle P(B)=P(B|A_1)\\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\\cdot P(A_3)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"496\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> \u00c9 portanto suficiente substituir as probabilidades da express\u00e3o anterior para encontrar a probabilidade de adquirir um televisor com defeito:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-78411084ca76e5e0de6a2b1794e61b28_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned} P(B)&amp;=P(B|A_1)\\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\\cdot P(A_3)\\\\[2ex]&amp;=0,05\\cdot 0,20+0,03\\cdot 0,50+0,04\\cdot 0,30\\\\[2ex]&amp;=0,037\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"102\" width=\"496\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Concluindo, h\u00e1 3,7% de probabilidade de comprarmos uma TV e ela estar com defeito. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"teorema-de-la-probabilidad-total-y-teorema-de-bayes\"><\/span> Teorema da probabilidade total e teorema de Bayes<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> O teorema da probabilidade total e o teorema de Bayes s\u00e3o dois teoremas importantes na teoria das probabilidades, principalmente porque nos permitem calcular probabilidades a partir de valores de probabilidade condicionais.<\/p>\n<p> O teorema de Bayes \u00e9 uma teoria da lei da probabilidade usada para calcular a probabilidade de um evento quando informa\u00e7\u00f5es a priori sobre esse evento s\u00e3o conhecidas.<\/p>\n<p> Especificamente, <strong>o teorema da probabilidade total e o teorema de Bayes<\/strong> est\u00e3o relacionados; na verdade, o denominador da f\u00f3rmula do teorema de Bayes \u00e9 equivalente \u00e0 f\u00f3rmula do teorema da probabilidade total.<\/p>\n<p> Clique no link a seguir para ver o que \u00e9 o teorema de Bayes e exemplos de sua aplica\u00e7\u00e3o: <\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Veja:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pt\/teorema-de-bayes\/\">teorema de Bayes<\/a><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Este artigo explica o que \u00e9 o teorema da probabilidade total e para que ele \u00e9 usado em probabilidade e estat\u00edstica. 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