{"id":40,"date":"2023-08-06T06:39:02","date_gmt":"2023-08-06T06:39:02","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pt\/distribuicao-hipergeometrica-1\/"},"modified":"2023-08-06T06:39:02","modified_gmt":"2023-08-06T06:39:02","slug":"distribuicao-hipergeometrica-1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pt\/distribuicao-hipergeometrica-1\/","title":{"rendered":"Distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica"},"content":{"rendered":"

Neste artigo explicamos o que \u00e9 a distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica e como se calcula uma probabilidade com este tipo de distribui\u00e7\u00e3o. Voc\u00ea encontrar\u00e1 online a f\u00f3rmula da distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica, quais s\u00e3o suas caracter\u00edsticas, bem como uma calculadora para calcular a probabilidade da distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica. <\/p>\n

<\/span> Qual \u00e9 a distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica?<\/span><\/h2>\n

A distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica<\/strong> \u00e9 uma distribui\u00e7\u00e3o de probabilidade que descreve o n\u00famero de casos de sucesso em uma extra\u00e7\u00e3o aleat\u00f3ria sem substitui\u00e7\u00e3o de n<\/em> elementos de uma popula\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

Ou seja, a distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica \u00e9 utilizada para calcular a probabilidade de obter x<\/em> sucessos ao extrair n<\/em> elementos de uma popula\u00e7\u00e3o sem substituir nenhum deles.<\/p>\n

A distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica possui tr\u00eas par\u00e2metros:<\/p>\n

    \n
  • N<\/em><\/strong> : \u00e9 o n\u00famero de elementos da popula\u00e7\u00e3o (N = 0, 1, 2,\u2026).<\/li>\n
  • K<\/em><\/strong> : \u00e9 o n\u00famero m\u00e1ximo de casos de sucesso (K = 0, 1, 2,\u2026,N). Como em uma distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica um elemento s\u00f3 pode ser considerado um \u201csucesso\u201d ou um \u201cfracasso\u201d, NK<\/em> \u00e9 o n\u00famero m\u00e1ximo de casos de falha.<\/li>\n
  • n<\/em><\/strong> : \u00e9 o n\u00famero de buscas sem substitui\u00e7\u00e3o executadas.<\/li>\n<\/ul>\n

    \"X<\/p>\n<\/p>\n

    Por exemplo, uma vari\u00e1vel aleat\u00f3ria discreta X que tem uma distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica com par\u00e2metros N=8, K=5 e n=3 \u00e9 definida como segue: <\/p>\n<\/p>\n

    \"X<\/p>\n<\/p>\n

    <\/span> F\u00f3rmula de distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica<\/span><\/h2>\n

    A f\u00f3rmula para a distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica<\/strong> \u00e9 o produto do n\u00famero combinat\u00f3rio de K<\/em> sobre x<\/em> pelo n\u00famero combinat\u00f3rio de NK<\/em> sobre nx<\/em> dividido pelo n\u00famero combinat\u00f3rio de N<\/em> sobre n<\/em> . <\/p>\n

    \n
    \"distribui\u00e7\u00e3o<\/figure>\n<\/div>\n

    Onde N<\/em> \u00e9 o tamanho da popula\u00e7\u00e3o, K<\/em> \u00e9 o n\u00famero total de casos favor\u00e1veis, n<\/em> \u00e9 o n\u00famero de extra\u00e7\u00f5es sem reposi\u00e7\u00e3o e x<\/em> \u00e9 o n\u00famero de casos favor\u00e1veis para os quais a probabilidade de ocorr\u00eancia deve ser calculada.<\/p>\n

    \ud83d\udc49 Voc\u00ea pode usar a calculadora abaixo para calcular a probabilidade de um evento de uma vari\u00e1vel que segue a distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica.<\/u> <\/p>\n

    <\/span> Exemplo de distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica<\/span><\/h2>\n

    Depois de vermos a defini\u00e7\u00e3o e a f\u00f3rmula da distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica, agora resolveremos um exemplo passo a passo para que voc\u00ea saiba calcular a probabilidade de uma distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica.<\/p>\n

      \n
    • Em um saco colocamos 20 bolas azuis e 30 bolas vermelhas, ou seja, s\u00e3o 50 bolas no total dentro do saco. Se tirarmos 12 bolas sem substituir nenhuma, encontre a probabilidade de tirar 4 bolas azuis.<\/li>\n<\/ul>\n

      A primeira coisa que precisamos fazer para resolver o exerc\u00edcio \u00e9 identificar os par\u00e2metros da distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica. Neste caso, o n\u00famero total de elementos da popula\u00e7\u00e3o \u00e9 50 ( N<\/em> =50), o n\u00famero m\u00e1ximo de casos favor\u00e1veis \u00e9 20 ( K<\/em> =20) e s\u00e3o sorteadas 12 bolas ( n<\/em> =12).<\/p>\n<\/p>\n

      \"\\left.\\begin{array}{c}N=50\\\\[2ex]K=20\\\\[2ex]n=12\\end{array}\\right\\}<\/p>\n<\/p>\n

      Queremos calcular a probabilidade de tirar 4 bolas azuis ( x<\/em> =4), ent\u00e3o aplicamos a f\u00f3rmula de distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica, substitu\u00edmos as vari\u00e1veis pelos seus valores correspondentes e realizamos o c\u00e1lculo: <\/p>\n<\/p>\n

      \"P\\bigl[X=x\\bigr]=\\cfrac{\\begin{pmatrix}K\\\\x\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix}N-K\\\\n-x\\end{pmatrix}}{\\begin{pmatrix}N\\\\n\\end{pmatrix}}\"<\/p>\n<\/p>\n

      \"\\begin{aligned}P\\bigl[X=4\\bigr]&=\\cfrac{\\begin{pmatrix}20\\\\4\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix}50-20\\\\12-4\\end{pmatrix}}{\\begin{pmatrix}50\\\\12\\end{pmatrix}}<\/p>\n<\/p>\n

      <\/span> Calculadora de distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica<\/span><\/h2>\n

      Insira os par\u00e2metros da distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica na calculadora online a seguir para calcular a probabilidade de ocorr\u00eancia do evento desejado.<\/p>\n

      Lembre-se que N<\/em> \u00e9 o tamanho da popula\u00e7\u00e3o, K<\/em> \u00e9 o n\u00famero total de casos favor\u00e1veis, n<\/em> \u00e9 o tamanho da amostra e x<\/em> \u00e9 o valor para o qual queremos encontrar a probabilidade de isso acontecer. <\/p>\n

      \n
        \n
      • \n

        \"N\"<\/p>\n

        = <\/span><\/li>\n

      • \n

        \"K\"<\/p>\n

        = <\/span><\/li>\n

      • \n

        \"n\"<\/p>\n

        = <\/span><\/li>\n

      • \n

        \"x\"<\/p>\n

        = <\/span><\/li>\n<\/ul>\n

        <\/div>\n<\/form>\n

        <\/span> Caracter\u00edsticas da distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica<\/span><\/h2>\n

        A distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica tem as seguintes propriedades:<\/p>\n

          \n
        • O valor esperado de uma distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica<\/strong> \u00e9 igual ao n\u00famero de elementos da amostra multiplicado pelo n\u00famero total de casos favor\u00e1veis dividido pelo n\u00famero de elementos da popula\u00e7\u00e3o.<\/li>\n<\/ul>\n

          \"E[X]=\\cfrac{n\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

            \n
          • A moda de uma distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica<\/strong> \u00e9 o valor arredondado para baixo do produto de n+1<\/em> vezes K+1<\/em> dividido por N+2<\/em> .<\/li>\n<\/ul>\n

            \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

              \n
            • A vari\u00e2ncia de uma distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica<\/strong> pode ser obtida usando a seguinte express\u00e3o:<\/li>\n<\/ul>\n

              \"\\displaystyle<\/p>\n<\/p>\n

                \n
              • A fun\u00e7\u00e3o geradora de momento de uma distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica \u00e9 a seguinte:<\/li>\n<\/ul>\n

                \"\\cfrac{{N-K<\/p>\n<\/p>\n

                  \n
                • A fun\u00e7\u00e3o caracter\u00edstica da distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica \u00e9 a seguinte:<\/li>\n<\/ul>\n

                  \"\\cfrac{{N-K<\/p>\n<\/p>\n

                    \n
                  • A probabilidade de ocorr\u00eancia de um determinado n\u00famero de eventos pode ser calculada a partir da probabilidade do n\u00famero anterior usando a recursiva para a distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica: <\/li>\n<\/ul>\n

                    \"P[X=x+1]=\\cfrac{(K-x)(n-x)}{(x+1)(N-K-n+x-1)}\\cdot<\/p>\n<\/p>\n

                    <\/span> Distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica e distribui\u00e7\u00e3o binomial<\/span><\/h2>\n

                    A diferen\u00e7a entre a distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica e a distribui\u00e7\u00e3o binomial<\/strong> \u00e9 a substitui\u00e7\u00e3o. A distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica \u00e9 usada quando as recupera\u00e7\u00f5es n\u00e3o s\u00e3o substitu\u00eddas, por\u00e9m, na distribui\u00e7\u00e3o binomial as recupera\u00e7\u00f5es s\u00e3o substitu\u00eddas.<\/p>\n

                    Por exemplo, se tirarmos cinco cartas aleatoriamente de um baralho e quisermos calcular a probabilidade de obter determinada carta, se n\u00e3o substituirmos cada carta que compramos, devemos utilizar a distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica para fazer o c\u00e1lculo. Mas se ao retirar uma carta a colocamos de volta antes de realizar a pr\u00f3xima extra\u00e7\u00e3o, ent\u00e3o devemos usar a distribui\u00e7\u00e3o binomial para calcular a probabilidade.<\/p>\n

                    Quando o n\u00famero N<\/em> \u00e9 grande, a raz\u00e3o n\/N<\/em> \u00e9 pequena e o n\u00famero de casos favor\u00e1veis desejados \u00e9 muito pequeno, podemos usar a distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica como uma aproxima\u00e7\u00e3o da distribui\u00e7\u00e3o binomial. Por\u00e9m, n\u00e3o recomendo porque o resultado n\u00e3o ser\u00e1 t\u00e3o confi\u00e1vel e, al\u00e9m disso, \u00e9 mais f\u00e1cil calcular probabilidades com a lei binomial do que com a lei hipergeom\u00e9trica.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

                    Neste artigo explicamos o que \u00e9 a distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica e como se calcula uma probabilidade com este tipo de distribui\u00e7\u00e3o. Voc\u00ea encontrar\u00e1 online a f\u00f3rmula da distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica, quais s\u00e3o suas caracter\u00edsticas, bem como uma calculadora para calcular a probabilidade da distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica. Qual \u00e9 a distribui\u00e7\u00e3o hipergeom\u00e9trica? 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