{"id":413,"date":"2023-07-30T07:37:23","date_gmt":"2023-07-30T07:37:23","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pt\/distribuicao-de-amostras\/"},"modified":"2023-07-30T07:37:23","modified_gmt":"2023-07-30T07:37:23","slug":"distribuicao-de-amostras","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pt\/distribuicao-de-amostras\/","title":{"rendered":"O que \u00e9 uma distribui\u00e7\u00e3o amostral?"},"content":{"rendered":"
\n

Imagine que h\u00e1 uma popula\u00e7\u00e3o de 10.000 golfinhos e o peso m\u00e9dio de um golfinho nessa popula\u00e7\u00e3o \u00e9 de 300 libras.<\/span><\/p>\n

Se tomarmos uma amostra aleat\u00f3ria simples<\/a> de 50 golfinhos desta popula\u00e7\u00e3o, poderemos descobrir que o peso m\u00e9dio dos golfinhos nesta amostra \u00e9 de 305 libras.<\/span><\/p>\n

Ent\u00e3o, se tomarmos outra amostra aleat\u00f3ria simples de 50 golfinhos, poderemos descobrir que o peso m\u00e9dio dos golfinhos nesta amostra \u00e9 de 295 libras.<\/span><\/p>\n

Sempre que tomamos uma amostra aleat\u00f3ria simples de 50 golfinhos, \u00e9 prov\u00e1vel que o peso m\u00e9dio dos golfinhos na amostra esteja pr\u00f3ximo da m\u00e9dia populacional de 300 libras, mas n\u00e3o exatamente de 300 libras.<\/span><\/p>\n

Vamos imaginar que pegamos 200 amostras aleat\u00f3rias simples de 50 golfinhos dessa popula\u00e7\u00e3o e criamos um histograma do peso m\u00e9dio de cada amostra:<\/span> <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Na maioria das amostras, o peso m\u00e9dio ser\u00e1 pr\u00f3ximo a 300 libras. Em casos raros, podemos colher uma amostra cheia de pequenos golfinhos cujo peso m\u00e9dio \u00e9 de apenas 250 quilos. Ou podemos pegar uma amostra cheia de golfinhos-nariz-de-garrafa que pesam em m\u00e9dia 350 libras. Em geral, a distribui\u00e7\u00e3o<\/em> das m\u00e9dias amostrais ser\u00e1 aproximadamente normal, com o centro da distribui\u00e7\u00e3o localizado no verdadeiro centro da popula\u00e7\u00e3o.<\/span><\/p>\n

Esta distribui\u00e7\u00e3o de m\u00e9dias amostrais \u00e9 conhecida como distribui\u00e7\u00e3o amostral da m\u00e9dia<\/strong> e tem as seguintes propriedades:<\/span><\/p>\n

\u00b5x<\/span><\/sub><\/strong> = \u00b5<\/span><\/p>\n

onde \u03bc x<\/span><\/sub> \u00e9 a m\u00e9dia amostral e \u03bc \u00e9 a m\u00e9dia populacional.<\/span><\/p>\n

\u03c3x<\/span><\/sub><\/strong> = \u03c3\/\u221an<\/span><\/p>\n

onde \u03c3 x<\/span><\/sub> \u00e9 o desvio padr\u00e3o da amostra, \u03c3 \u00e9 o desvio padr\u00e3o da popula\u00e7\u00e3o e n \u00e9 o tamanho da amostra.<\/span><\/p>\n

Por exemplo, nesta popula\u00e7\u00e3o de golfinhos, sabemos que o peso m\u00e9dio \u00e9 \u03bc = 300. Portanto, a m\u00e9dia da distribui\u00e7\u00e3o amostral \u00e9 \u03bc x<\/span><\/sub><\/strong> = 300<\/strong> .<\/span><\/p>\n

Suponha que tamb\u00e9m saibamos que o desvio padr\u00e3o da popula\u00e7\u00e3o \u00e9 de 18 libras. O desvio padr\u00e3o da amostra \u00e9, portanto , \u03c3 x<\/span><\/sub><\/strong> = 18\/ \u221a50 = 2,546<\/strong> .<\/span><\/p>\n

Distribui\u00e7\u00e3o amostral de propor\u00e7\u00e3o<\/strong><\/span><\/h2>\n

Considere a mesma popula\u00e7\u00e3o de 10.000 golfinhos. Suponha que 10% dos golfinhos sejam pretos e o restante cinza. Suponha que tomemos uma amostra aleat\u00f3ria simples<\/a> de 50 golfinhos e descubramos que 14% dos golfinhos nessa amostra s\u00e3o pretos. A seguir, pegamos outra amostra aleat\u00f3ria simples de 50 golfinhos e descobrimos que 8% dos golfinhos nesta amostra s\u00e3o pretos.<\/span><\/p>\n

Imagine que pegamos 200 amostras aleat\u00f3rias simples de 50 golfinhos desta popula\u00e7\u00e3o e criamos um histograma da propor\u00e7\u00e3o de golfinhos pretos em cada amostra:<\/span> <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Na maioria das amostras, a propor\u00e7\u00e3o de golfinhos negros estar\u00e1 pr\u00f3xima da popula\u00e7\u00e3o real de 10%. A distribui\u00e7\u00e3o<\/em> da propor\u00e7\u00e3o amostral de golfinhos negros ser\u00e1 aproximadamente normal, com o centro da distribui\u00e7\u00e3o localizado no verdadeiro centro da popula\u00e7\u00e3o.<\/span><\/p>\n

Esta distribui\u00e7\u00e3o de propor\u00e7\u00f5es amostrais \u00e9 conhecida como distribui\u00e7\u00e3o amostral de propor\u00e7\u00e3o<\/strong> e tem as seguintes propriedades:<\/span><\/p>\n

\u00b5p<\/sub><\/strong> = P<\/span><\/p>\n

onde p<\/em> \u00e9 a propor\u00e7\u00e3o da amostra e P<\/em> \u00e9 a propor\u00e7\u00e3o da popula\u00e7\u00e3o.<\/span><\/p>\n

\u03c3 p<\/sub><\/strong> = \u221a (P)(1-P) \/ n<\/span><\/span><\/p>\n

onde P \u00e9 a propor\u00e7\u00e3o da popula\u00e7\u00e3o en \u00e9 o tamanho da amostra.<\/span><\/p>\n

Por exemplo, nesta popula\u00e7\u00e3o de golfinhos sabemos que a verdadeira propor\u00e7\u00e3o de golfinhos negros \u00e9 10% = 0,1. Assim, a m\u00e9dia da distribui\u00e7\u00e3o amostral proporcional \u00e9 \u03bc p<\/sub><\/strong> = 0,1<\/strong> .<\/span><\/p>\n

Suponha que tamb\u00e9m saibamos que o desvio padr\u00e3o da popula\u00e7\u00e3o \u00e9 de 18 libras. Assim, o desvio padr\u00e3o da amostra \u00e9 \u03c3 p<\/sub><\/strong> = \u221a (P)(1-P) \/ n<\/span> = \u221a (.1)(1-.1) \/ 50<\/span> = .042<\/strong> .<\/span><\/p>\n

Estabele\u00e7a a normalidade<\/strong><\/span><\/h2>\n

Para usar as f\u00f3rmulas acima, a distribui\u00e7\u00e3o amostral deve ser normal.<\/span><\/p>\n

De acordo com o teorema do limite central<\/strong><\/a> , a distribui\u00e7\u00e3o amostral de uma m\u00e9dia amostral \u00e9 aproximadamente normal se o tamanho da amostra for grande o suficiente, mesmo que a distribui\u00e7\u00e3o populacional n\u00e3o seja normal<\/em> . Na maioria dos casos, consideramos que um tamanho de amostra de 30 ou mais \u00e9 suficientemente grande.<\/span><\/p>\n

A distribui\u00e7\u00e3o amostral de uma propor\u00e7\u00e3o amostral \u00e9 aproximadamente normal se o n\u00famero esperado de sucessos e falhas for pelo menos 10.<\/span><\/p>\n

Exemplos<\/strong><\/span><\/h2>\n

Podemos usar distribui\u00e7\u00f5es amostrais para calcular probabilidades.<\/span><\/p>\n

Exemplo 1:<\/strong> Uma determinada m\u00e1quina cria cookies. A distribui\u00e7\u00e3o de peso desses biscoitos \u00e9 inclinada para a direita com m\u00e9dia de 10 on\u00e7as e desvio padr\u00e3o de 2 on\u00e7as. Se tomarmos uma amostra aleat\u00f3ria simples de 100 biscoitos produzidos por esta m\u00e1quina, qual \u00e9 a probabilidade de que o peso m\u00e9dio dos biscoitos nesta amostra seja inferior a 9,8 on\u00e7as?<\/strong><\/em><\/span><\/p>\n

Etapa 1: Estabele\u00e7a a normalidade.<\/span><\/strong><\/p>\n

Precisamos garantir que a distribui\u00e7\u00e3o amostral das m\u00e9dias amostrais seja normal. Como o tamanho da nossa amostra \u00e9 maior ou igual a 30, de acordo com o teorema do limite central, podemos assumir que a distribui\u00e7\u00e3o amostral das m\u00e9dias amostrais \u00e9 normal.<\/span><\/p>\n

Etapa 2: Encontre a m\u00e9dia e o desvio padr\u00e3o da distribui\u00e7\u00e3o amostral.<\/span><\/strong><\/p>\n

\u00b5x<\/span><\/sub><\/strong> = \u00b5<\/span><\/p>\n

\u03c3x<\/span><\/sub><\/strong> = \u03c3\/\u221an<\/span><\/p>\n

\u03bc x<\/span><\/sub><\/strong> = 10 on\u00e7as<\/strong><\/span><\/p>\n

\u03c3 x<\/span><\/sub><\/strong> = 2\/ \u221a100 = 2\/10 = 0,2 on\u00e7as<\/strong><\/span><\/p>\n

Etapa 3:<\/strong> Use a calculadora de \u00e1rea de pontua\u00e7\u00e3o Z<\/a> para determinar a probabilidade de que o peso m\u00e9dio do biscoito nesta amostra seja inferior a 9,8 on\u00e7as.<\/strong><\/span><\/p>\n

Insira os seguintes n\u00fameros na calculadora da \u00e1rea de pontua\u00e7\u00e3o Z.<\/a> Voc\u00ea pode deixar \u201cPontua\u00e7\u00e3o Bruta 2\u201d em branco, pois encontramos apenas um n\u00famero neste exemplo.<\/span> <\/p>\n

\"\"
Como queremos saber a probabilidade de o peso m\u00e9dio dos biscoitos nesta amostra ser inferior a<\/em> 9,8 on\u00e7as, estamos interessados na \u00e1rea \u00e0 esquerda<\/em> de 9,8. A calculadora nos diz que essa probabilidade \u00e9 0,15866<\/strong> .<\/span><\/p>\n

Exemplo 2:<\/strong> De acordo com um estudo realizado em toda a escola, 87% dos alunos de uma determinada escola preferem pizza a sorvete. Suponha que tomemos uma amostra aleat\u00f3ria simples de 200 alunos. Qual \u00e9 a probabilidade de que a propor\u00e7\u00e3o de estudantes que preferem pizza seja inferior a 85%?<\/strong><\/em><\/span><\/p>\n

Etapa 1: Estabele\u00e7a a normalidade.<\/span><\/strong><\/p>\n

Lembre-se de que a distribui\u00e7\u00e3o amostral de uma propor\u00e7\u00e3o amostral \u00e9 aproximadamente normal se o n\u00famero esperado de “sucessos” e “fracassos” for pelo menos 10.<\/span><\/p>\n

Nesse caso, o n\u00famero esperado de alunos que preferir\u00e3o pizza \u00e9 de 87% * 200 alunos = 174 alunos. O n\u00famero esperado de alunos que n\u00e3o preferir\u00e3o pizza \u00e9 de 13% * 200 alunos = 26 alunos. Como ambos os n\u00fameros s\u00e3o pelo menos 10, podemos assumir que a distribui\u00e7\u00e3o amostral da propor\u00e7\u00e3o de alunos que preferir\u00e3o pizza \u00e9 aproximadamente normal.<\/span><\/p>\n

Etapa 2: Encontre a m\u00e9dia e o desvio padr\u00e3o da distribui\u00e7\u00e3o amostral.<\/span><\/strong><\/p>\n

\u00b5p<\/sub><\/strong> = P<\/span><\/p>\n

\u03c3 p<\/sub><\/strong> = \u221a (P)(1-P) \/ n<\/span><\/span><\/p>\n

\u00b5p<\/sub><\/strong> = 0,87<\/strong><\/span><\/p>\n

\u03c3p<\/sub><\/strong> = \u221a (0,87)(1-0,87) \/ 200<\/span> = 0,024<\/strong><\/span><\/p>\n

Etapa 3:<\/strong> Use a calculadora de \u00e1rea de pontua\u00e7\u00e3o Z<\/a> para determinar a probabilidade de que a propor\u00e7\u00e3o de alunos que preferem pizza seja inferior a 85%.<\/strong><\/span><\/p>\n

Insira os seguintes n\u00fameros na calculadora da \u00e1rea de pontua\u00e7\u00e3o Z.<\/a> Voc\u00ea pode deixar \u201cPontua\u00e7\u00e3o Bruta 2\u201d em branco, pois encontramos apenas um n\u00famero neste exemplo.<\/span> <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Como queremos saber a probabilidade de a propor\u00e7\u00e3o de estudantes que preferem pizza ser inferior a 85%, estamos interessados na \u00e1rea \u00e0 esquerda<\/em> de 0,85. A calculadora nos diz que essa probabilidade \u00e9 0,20233<\/strong> .<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Imagine que h\u00e1 uma popula\u00e7\u00e3o de 10.000 golfinhos e o peso m\u00e9dio de um golfinho nessa popula\u00e7\u00e3o \u00e9 de 300 libras. Se tomarmos uma amostra aleat\u00f3ria simples de 50 golfinhos desta popula\u00e7\u00e3o, poderemos descobrir que o peso m\u00e9dio dos golfinhos nesta amostra \u00e9 de 305 libras. 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