{"id":427,"date":"2023-07-29T23:33:30","date_gmt":"2023-07-29T23:33:30","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pt\/teorema-do-limite-central\/"},"modified":"2023-07-29T23:33:30","modified_gmt":"2023-07-29T23:33:30","slug":"teorema-do-limite-central","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pt\/teorema-do-limite-central\/","title":{"rendered":"Teorema do limite central: defini\u00e7\u00e3o + exemplos"},"content":{"rendered":"

<\/p>\n

\n

O teorema do limite central<\/strong> afirma que a distribui\u00e7\u00e3o amostral de uma m\u00e9dia amostral<\/a> \u00e9 aproximadamente normal se o tamanho da amostra for grande o suficiente, mesmo que a distribui\u00e7\u00e3o populacional n\u00e3o seja normal<\/em> .<\/span><\/p>\n

O teorema do limite central tamb\u00e9m afirma que a distribui\u00e7\u00e3o amostral ter\u00e1 as seguintes propriedades:<\/span><\/p>\n

1.<\/strong> A m\u00e9dia da distribui\u00e7\u00e3o amostral ser\u00e1 igual \u00e0 m\u00e9dia da distribui\u00e7\u00e3o populacional:<\/span><\/p>\n

x<\/span> = \u00b5<\/span><\/strong><\/p>\n

2.<\/strong> A vari\u00e2ncia da distribui\u00e7\u00e3o amostral ser\u00e1 igual \u00e0 vari\u00e2ncia da distribui\u00e7\u00e3o populacional dividida pelo tamanho da amostra:<\/span><\/p>\n

s2<\/sup> = \u03c32<\/sup><\/span> \/n<\/span><\/strong><\/p>\n

Exemplos do Teorema do Limite Central<\/span><\/strong><\/h2>\n

Aqui est\u00e3o alguns exemplos para ilustrar o teorema do limite central na pr\u00e1tica.<\/span><\/p>\n

Distribui\u00e7\u00e3o uniforme<\/span><\/strong><\/h3>\n

Suponha que a largura do casco de uma tartaruga siga uma distribui\u00e7\u00e3o uniforme com largura m\u00ednima de 2 polegadas e largura m\u00e1xima de 6 polegadas. Ou seja, se selecionarmos uma tartaruga aleatoriamente e medirmos a largura de seu casco, \u00e9 prov\u00e1vel que ela tamb\u00e9m tenha entre 5 e 15 cent\u00edmetros de largura<\/em> .<\/span><\/p>\n

Se fiz\u00e9ssemos um histograma para representar a distribui\u00e7\u00e3o das larguras dos cascos das tartarugas, ficaria assim:<\/span> <\/p>\n

\"Exemplo
A m\u00e9dia de uma distribui\u00e7\u00e3o uniforme \u00e9 \u03bc<\/strong> = (b+a) \/ 2 onde b<\/em> \u00e9 o maior valor poss\u00edvel e a<\/em> \u00e9 o menor valor poss\u00edvel. Neste caso \u00e9 (6+2)\/2 = 4.<\/span><\/p>\n

A vari\u00e2ncia de uma distribui\u00e7\u00e3o uniforme \u00e9 \u03c32<\/sup><\/strong> = (ba) 2\/12<\/sup> . Neste caso \u00e9 (6-2) 2\/12<\/sup> = 1,33<\/strong><\/span><\/p>\n

Tirando amostras aleat\u00f3rias de 2 da distribui\u00e7\u00e3o uniforme<\/strong><\/span><\/h4>\n

Agora imagine que pegamos uma amostra aleat\u00f3ria de 2 tartarugas dessa popula\u00e7\u00e3o e medimos a largura do casco de cada tartaruga. Vamos supor que o casco da primeira tartaruga tenha 7 cent\u00edmetros de largura e o da segunda 15 cent\u00edmetros de largura. A largura m\u00e9dia desta amostra de 2 tartarugas \u00e9 de 4,5 polegadas.<\/span><\/p>\n

A seguir, imagine que pegamos outra amostra aleat\u00f3ria de 2 tartarugas dessa popula\u00e7\u00e3o e medimos novamente a largura do casco de cada tartaruga. Vamos supor que o casco da primeira tartaruga tenha 2,5 polegadas de largura e a segunda tamb\u00e9m tenha 2,5 polegadas de largura. A largura m\u00e9dia desta amostra de 2 tartarugas \u00e9 de 2,5 polegadas.<\/span><\/p>\n

Imagine que continuamos coletando amostras aleat\u00f3rias de 2 tartarugas repetidamente e continuamos encontrando a largura m\u00e9dia do casco a cada vez.<\/span><\/p>\n

Se fiz\u00e9ssemos um histograma para representar a largura m\u00e9dia do casco de todas essas amostras de 2 tartarugas, ficaria assim:<\/span> <\/p>\n

\"Teorema
Isso \u00e9 chamado de distribui\u00e7\u00e3o amostral para as m\u00e9dias amostrais<\/strong> porque mostra a distribui\u00e7\u00e3o das m\u00e9dias amostrais.<\/span><\/p>\n

A m\u00e9dia desta distribui\u00e7\u00e3o amostral \u00e9<\/span> x<\/span> = \u03bc = 4<\/span><\/strong><\/p>\n

A vari\u00e2ncia desta distribui\u00e7\u00e3o amostral \u00e9 s2<\/sup> = \u03c32<\/sup> \/ n = 1,33 \/ 2 = 0,665<\/strong><\/span><\/p>\n

Tirando amostras aleat\u00f3rias de 5 da distribui\u00e7\u00e3o uniforme<\/strong><\/span><\/h4>\n

Agora imagine que repetimos a mesma experi\u00eancia, mas desta vez recolhemos amostras aleat\u00f3rias de 5 tartarugas repetidamente e calculamos a largura m\u00e9dia da carapa\u00e7a de cada vez.<\/span><\/p>\n

Se fiz\u00e9ssemos um histograma para representar a largura m\u00e9dia do casco de todas essas amostras de 5 tartarugas, ficaria assim:<\/span> <\/p>\n

\"Teorema
Observe que esta distribui\u00e7\u00e3o tem um formato mais de \u201csino\u201d que se assemelha \u00e0 distribui\u00e7\u00e3o normal<\/a> . Isso ocorre porque quando tomamos amostras de 5, a vari\u00e2ncia entre nossas m\u00e9dias amostrais \u00e9 muito menor, ent\u00e3o temos menos probabilidade de obter amostras com uma m\u00e9dia pr\u00f3xima de 2 polegadas ou 6 polegadas e mais probabilidade de obter amostras com m\u00e9dia pr\u00f3xima de 2 polegadas ou 6 polegadas. 6 polegadas. a m\u00e9dia est\u00e1 mais pr\u00f3xima da m\u00e9dia real da popula\u00e7\u00e3o em 10 cent\u00edmetros.<\/span><\/p>\n

A m\u00e9dia desta distribui\u00e7\u00e3o amostral \u00e9<\/span> x<\/span> = \u03bc = 4<\/span><\/strong><\/p>\n

A vari\u00e2ncia desta distribui\u00e7\u00e3o amostral \u00e9 s2<\/sup> = \u03c32<\/sup> \/ n = 1,33 \/ 5 = 0,266<\/strong><\/span><\/p>\n

Tirando amostras aleat\u00f3rias de 30 da distribui\u00e7\u00e3o uniforme<\/strong><\/span><\/h4>\n

Agora imagine que repetimos a mesma experi\u00eancia, mas desta vez recolhemos amostras aleat\u00f3rias de 30 tartarugas repetidamente e calculamos a largura m\u00e9dia da carapa\u00e7a de cada vez.<\/span><\/p>\n

Se fiz\u00e9ssemos um histograma para representar a largura m\u00e9dia do casco de todas essas amostras de 30 tartarugas, ficaria assim:<\/span> <\/p>\n

\"Teorema
Observe que esta distribui\u00e7\u00e3o amostral \u00e9 ainda mais em forma de sino e muito mais estreita do que as duas distribui\u00e7\u00f5es anteriores.<\/span><\/p>\n

A m\u00e9dia desta distribui\u00e7\u00e3o amostral \u00e9<\/span> x<\/span> = \u03bc = 4<\/span><\/strong><\/p>\n

A vari\u00e2ncia desta distribui\u00e7\u00e3o amostral \u00e9 s2<\/sup> = \u03c32<\/sup> \/ n = 1,33 \/ 30 = 0,044<\/strong><\/span><\/p>\n

A distribui\u00e7\u00e3o qui-quadrado<\/span><\/strong><\/h3>\n

Suponha que o n\u00famero de animais de estima\u00e7\u00e3o por fam\u00edlia em uma determinada cidade siga uma distribui\u00e7\u00e3o qui-quadrado com tr\u00eas graus de liberdade. Se fiz\u00e9ssemos um histograma para representar a distribui\u00e7\u00e3o dos animais por fam\u00edlia, ficaria assim:<\/span> <\/p>\n

\"Teorema<\/p>\n

A m\u00e9dia de uma distribui\u00e7\u00e3o qui-quadrado \u00e9 simplesmente o n\u00famero de graus de liberdade (gl). Neste caso, \u03bc<\/strong> = 3<\/strong> .<\/span><\/p>\n

A vari\u00e2ncia de uma distribui\u00e7\u00e3o qui-quadrado \u00e9 2 * df. Neste caso, \u03c32<\/sup><\/strong> = 2 * 3 = 6<\/strong> .<\/span><\/p>\n

Tomando amostras aleat\u00f3rias de 2<\/strong><\/span><\/h4>\n

Imagine que pegamos uma amostra aleat\u00f3ria de 2 fam\u00edlias dessa popula\u00e7\u00e3o e contamos o n\u00famero de animais de estima\u00e7\u00e3o em cada fam\u00edlia. Suponha que a primeira fam\u00edlia tenha 4 animais de estima\u00e7\u00e3o e a segunda fam\u00edlia tenha 1 animal de estima\u00e7\u00e3o. O n\u00famero m\u00e9dio de animais de estima\u00e7\u00e3o para esta amostra de 2 fam\u00edlias \u00e9 2,5.<\/span><\/p>\n

Ent\u00e3o imagine que pegamos outra amostra aleat\u00f3ria de 2 fam\u00edlias dessa popula\u00e7\u00e3o e contamos novamente o n\u00famero de animais de estima\u00e7\u00e3o em cada fam\u00edlia. Suponha que a primeira fam\u00edlia tenha 6 animais de estima\u00e7\u00e3o e a segunda fam\u00edlia tenha 4 animais de estima\u00e7\u00e3o. O n\u00famero m\u00e9dio de animais de estima\u00e7\u00e3o para esta amostra de 2 fam\u00edlias \u00e9 5.<\/span><\/p>\n

Imagine que continuamos coletando amostras aleat\u00f3rias de 2 fam\u00edlias repetidamente e sempre encontrando o n\u00famero m\u00e9dio de animais de estima\u00e7\u00e3o.<\/span><\/p>\n

Se fiz\u00e9ssemos um histograma para representar o n\u00famero m\u00e9dio de animais de estima\u00e7\u00e3o de todas essas amostras de 2 fam\u00edlias, ficaria assim:<\/span> <\/p>\n

\"Teorema<\/p>\n

A m\u00e9dia desta distribui\u00e7\u00e3o amostral \u00e9<\/span> x<\/span> = \u03bc = 3<\/span><\/strong><\/p>\n

A vari\u00e2ncia desta distribui\u00e7\u00e3o amostral \u00e9 s 2<\/sup> = \u03c3 2<\/sup> \/ n = 6\/2 = 3<\/strong><\/span><\/p>\n

Tomando amostras aleat\u00f3rias de 10<\/strong><\/span><\/h4>\n

Agora imagine que repetimos a mesma experi\u00eancia, mas desta vez recolhemos amostras aleat\u00f3rias de 10 fam\u00edlias repetidamente e de cada vez encontramos o n\u00famero m\u00e9dio de animais por fam\u00edlia.<\/span><\/p>\n

Se fiz\u00e9ssemos um histograma para representar o n\u00famero m\u00e9dio de animais por fam\u00edlia em todas essas amostras de 10 fam\u00edlias, ficaria assim:<\/span> <\/p>\n

\"Teorema<\/p>\n

A m\u00e9dia desta distribui\u00e7\u00e3o amostral \u00e9<\/span> x<\/span> = \u03bc = 3<\/span><\/strong><\/p>\n

A vari\u00e2ncia desta distribui\u00e7\u00e3o amostral \u00e9 s2<\/sup> = \u03c32<\/sup> \/ n = 6\/10 = 0,6<\/strong><\/span><\/p>\n

Tomando amostras aleat\u00f3rias de 30<\/strong><\/span><\/h4>\n

Agora imagine que repetimos a mesma experi\u00eancia, mas desta vez recolhemos amostras aleat\u00f3rias de 30 fam\u00edlias repetidas vezes e de cada vez encontramos o n\u00famero m\u00e9dio de animais por fam\u00edlia.<\/span><\/p>\n

Se fiz\u00e9ssemos um histograma para representar o n\u00famero m\u00e9dio de animais por fam\u00edlia em todas estas amostras de 30 fam\u00edlias, ficaria assim:<\/span> <\/p>\n

\"Histograma<\/p>\n

A m\u00e9dia desta distribui\u00e7\u00e3o amostral \u00e9<\/span> x<\/span> = \u03bc = 3<\/span><\/strong><\/p>\n

A vari\u00e2ncia desta distribui\u00e7\u00e3o amostral \u00e9 s2<\/sup> = \u03c32<\/sup> \/ n = 6\/30 = 0,2<\/strong><\/span><\/p>\n

Resumo<\/span><\/strong><\/h2>\n

Aqui est\u00e3o as principais conclus\u00f5es desses dois exemplos:<\/span><\/p>\n