{"id":76,"date":"2023-08-05T17:37:55","date_gmt":"2023-08-05T17:37:55","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/pt\/covariancia\/"},"modified":"2023-08-05T17:37:55","modified_gmt":"2023-08-05T17:37:55","slug":"covariancia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/pt\/covariancia\/","title":{"rendered":"Covari\u00e2ncia"},"content":{"rendered":"<p>Este artigo explica o que \u00e9 covari\u00e2ncia e como ela \u00e9 calculada. Voc\u00ea encontrar\u00e1 a f\u00f3rmula de covari\u00e2ncia, bem como um exemplo de c\u00e1lculo da covari\u00e2ncia de um conjunto de dados. Al\u00e9m disso, voc\u00ea pode calcular a covari\u00e2ncia de qualquer s\u00e9rie de dados com a calculadora online no final. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%c2%bfque-es-la-covarianza\"><\/span> O que \u00e9 covari\u00e2ncia?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Nas estat\u00edsticas, <strong>a covari\u00e2ncia<\/strong> \u00e9 um valor que indica o grau de varia\u00e7\u00e3o conjunta de duas vari\u00e1veis aleat\u00f3rias. Em outras palavras, a covari\u00e2ncia \u00e9 utilizada para analisar a depend\u00eancia entre duas vari\u00e1veis.<\/p>\n<p> A covari\u00e2ncia \u00e9 igual \u00e0 soma dos produtos das diferen\u00e7as entre os dados das duas vari\u00e1veis e suas respectivas m\u00e9dias dividida pelo n\u00famero total de dados. <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/covariance.png\" alt=\"covari\u00e2ncia\" class=\"wp-image-1610\" width=\"301\" height=\"191\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> \ud83d\udc49 <u style=\"text-decoration-color:#FF8A05;\">Voc\u00ea pode usar a calculadora abaixo para calcular a covari\u00e2ncia de qualquer conjunto de dados.<\/u><\/p>\n<p> A interpreta\u00e7\u00e3o do valor da covari\u00e2ncia \u00e9 muito simples:<\/p>\n<ul>\n<li> Se a <strong>covari\u00e2ncia for positiva<\/strong> , significa que existe uma depend\u00eancia entre as duas vari\u00e1veis. Portanto, quando uma vari\u00e1vel aumenta de valor, a outra vari\u00e1vel tamb\u00e9m aumenta e vice-versa.<\/li>\n<li> Se a <strong>covari\u00e2ncia for negativa<\/strong> , significa que a rela\u00e7\u00e3o entre as duas vari\u00e1veis \u00e9 negativa. Assim, quando uma vari\u00e1vel aumenta de valor, a outra vari\u00e1vel diminui e vice-versa.<\/li>\n<li> Se a <strong>covari\u00e2ncia for zero<\/strong> (ou seu valor for pr\u00f3ximo de zero), isso implica que n\u00e3o existe rela\u00e7\u00e3o entre as duas vari\u00e1veis. Em outras palavras, as duas vari\u00e1veis aleat\u00f3rias s\u00e3o independentes. <\/li>\n<\/ul>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"como-calcular-la-covarianza\"><\/span> Como calcular a covari\u00e2ncia<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Para calcular a covari\u00e2ncia de uma s\u00e9rie de dados, as seguintes etapas devem ser executadas:<\/p>\n<ol style=\"color:#FF8A05; font-weight: bold;\">\n<li style=\"margin-bottom:12px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Calcule a m\u00e9dia de cada vari\u00e1vel separadamente.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:12px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Para cada vari\u00e1vel, encontre a diferen\u00e7a entre cada um de seus valores e a m\u00e9dia da vari\u00e1vel.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:12px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Multiplique as diferen\u00e7as calculadas na etapa anterior para cada ponto de dados.<\/span><\/li>\n<li style=\"margin-bottom:12px\"> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Some todos os resultados obtidos na etapa anterior.<\/span><\/li>\n<li> <span style=\"color:#101010;font-weight: normal;\">Divida pelo n\u00famero total de dados. O valor obtido \u00e9 a covari\u00e2ncia da s\u00e9rie de dados.<\/span><\/li>\n<\/ol>\n<p> Em resumo, a f\u00f3rmula para calcular a covari\u00e2ncia entre duas vari\u00e1veis \u00e9 a seguinte:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-6e8484a2dfa35044eae76362ca631df2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(X,Y)=\\cfrac{\\displaystyle \\sum_{i=1}^n (x_i-\\overline{x})(y_i-\\overline{y})}{n}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"70\" width=\"257\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Um m\u00e9todo altamente recomendado para extrair a covari\u00e2ncia entre duas vari\u00e1veis \u00e9 criar uma tabela com todos os pares de dados e adicionar uma coluna para cada uma das etapas explicadas acima. Dessa forma seus c\u00e1lculos ficar\u00e3o muito mais organizados e voc\u00ea entender\u00e1 melhor o que est\u00e1 fazendo. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"ejemplo-del-calculo-de-la-covarianza\"><\/span> Exemplo de c\u00e1lculo de covari\u00e2ncia<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Considerando a defini\u00e7\u00e3o de covari\u00e2ncia, segue abaixo um exemplo passo a passo do c\u00e1lculo desse tipo de medida estat\u00edstica. O objetivo \u00e9 que voc\u00ea entenda melhor o conceito de covari\u00e2ncia e como analisar a correla\u00e7\u00e3o entre duas vari\u00e1veis.<\/p>\n<ul>\n<li> Calcule a covari\u00e2ncia do seguinte conjunto de dados estat\u00edsticos: <\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/exemple-donnees-variables-aleatoires.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-1612\" width=\"116\" height=\"286\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Primeiro, precisamos calcular a m\u00e9dia aritm\u00e9tica de cada vari\u00e1vel. Para isso, dividimos a soma dos valores de cada vari\u00e1vel pelo n\u00famero total de dados. <\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-4cbd143f38881aba1c648a4d6f306adf_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{x}=\\cfrac{58}{10}=5,8\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"103\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-a19af98b2edc689420b116d93fffbe6c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\overline{y}=\\cfrac{51}{10}=5,1\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"39\" width=\"101\" style=\"vertical-align: -12px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Veja:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pt\/media-aritmetica\/\">m\u00e9dia da f\u00f3rmula aritm\u00e9tica<\/a><\/div>\n<p> Depois de determinar a m\u00e9dia de cada vari\u00e1vel aleat\u00f3ria, podemos adicionar as seguintes colunas \u00e0 tabela de dados para obter a covari\u00e2ncia: <\/p>\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/uploads\/2023\/08\/exercice-de-covariance-resolu.png\" alt=\"exerc\u00edcio de covari\u00e2ncia resolvido\" class=\"wp-image-1614\" width=\"376\" height=\"287\" srcset=\"\" sizes=\"auto, \"><\/figure>\n<\/div>\n<p> Ent\u00e3o para determinar a covari\u00e2ncia das duas vari\u00e1veis voc\u00ea deve dividir a soma da \u00faltima coluna pelo n\u00famero de pares de dados:<\/p>\n<\/p>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-49b4992f8443e4d94e38dfa56da38a9a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}Cov(X,Y)&amp;=\\cfrac{\\displaystyle \\sum_{i=1}^n (x_i-\\overline{x})(y_i-\\overline{y})}{n}\\\\[2ex] Cov(X,Y)&amp;= \\cfrac{41,2}{10} \\\\[2ex]Cov(X,Y)&amp;= 4,12\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"175\" width=\"257\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p>\n<\/p>\n<p> Neste caso o valor da covari\u00e2ncia \u00e9 positivo, o que significa que existe uma depend\u00eancia direta entre as duas vari\u00e1veis aleat\u00f3rias estudadas. Por\u00e9m, se o valor da covari\u00e2ncia fosse negativo, isso significaria que a depend\u00eancia entre as duas vari\u00e1veis \u00e9 inversa. E por fim, se o valor da covari\u00e2ncia for zero ou muito pr\u00f3ximo de zero, significa que n\u00e3o existe rela\u00e7\u00e3o linear entre as duas vari\u00e1veis.<\/p>\n<p> Como voc\u00ea pode ver na resolu\u00e7\u00e3o deste exemplo, \u00e9 muito \u00fatil usar um programa de computador como o Excel para adicionar as colunas \u00e0 tabela e realizar os c\u00e1lculos rapidamente. Caso contr\u00e1rio, calculando as opera\u00e7\u00f5es manualmente, demora muito mais para encontrar a covari\u00e2ncia. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"calculadora-de-la-covarianza\"><\/span> Calculadora de Covari\u00e2ncia<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> Insira um conjunto de dados estat\u00edsticos na calculadora a seguir para calcular a covari\u00e2ncia entre duas vari\u00e1veis. Voc\u00ea precisa separar os pares de dados, para que na primeira caixa existam apenas os valores de uma vari\u00e1vel e na segunda caixa existam apenas os valores da segunda vari\u00e1vel.<\/p>\n<p> Os dados devem ser separados por espa\u00e7o e inseridos usando o ponto final como separador decimal.<\/p>\n<form action=\"\" method=\"post\">\n<ul>\n<li> Vari\u00e1vel aleat\u00f3ria <\/li>\n<\/ul>\n<p><textarea name=\"datosX\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:15px;\" placeholder=\"1 4 8 5 7.2 9 ...\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce los datos de la primera variable aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/textarea><\/p>\n<ul style=\"margin-top:25px\">\n<li> Vari\u00e1vel aleat\u00f3ria Y: <\/li>\n<\/ul>\n<p><textarea name=\"datosY\" style=\"border:1.5px solid #4FC3F7; border-radius:15px;\" placeholder=\"2 5 7 3 2 1 ...\" required=\"\" oninvalid=\"this.setCustomValidity('Introduce los datos de la segunda variable aqu\u00ed')\" oninput=\"this.setCustomValidity('')\"><\/textarea><\/p>\n<div style=\"text-align:center\"><input align=\"center\" style=\"border-radius:30px; margin: 20px\" type=\"submit\" name=\"submit\" value=\"Calcule a covari\u00e2ncia\"><\/div>\n<\/form>\n<h2 class=\"wp-block-heading\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"propiedades-de-la-covarianza\"><\/span> Propriedades de covari\u00e2ncia<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n<p> A covari\u00e2ncia tem as seguintes propriedades:<\/p>\n<ul>\n<li> A covari\u00e2ncia entre uma vari\u00e1vel aleat\u00f3ria e uma constante \u00e9 zero.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-3521edd5d0781593491d07e147d9274e_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(X,a)=0\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"111\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> A covari\u00e2ncia de uma vari\u00e1vel e ela mesma \u00e9 equivalente \u00e0 vari\u00e2ncia dessa vari\u00e1vel. <\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-b96c9e198a0904a56206dedad0e7608c_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(X,X)=Var(X)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"169\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<div style=\"background-color:#FFFDE7; padding-top: 10px; padding-bottom: 10px; padding-right: 20px; padding-left: 30px; border: 2.5px dashed #FFB74D; border-radius:20px;\"> <span style=\"color:#ff951b\">\u27a4<\/span> <strong>Veja:<\/strong> <a href=\"https:\/\/statorials.org\/pt\/variacao\/\">o que \u00e9 vari\u00e2ncia?<\/a><\/div>\n<ul>\n<li> A covari\u00e2ncia satisfaz a propriedade de simetria, portanto a covari\u00e2ncia das vari\u00e1veis X e Y \u00e9 igual \u00e0 covari\u00e2ncia das vari\u00e1veis Y e X. A ordem das vari\u00e1veis n\u00e3o afeta o resultado da covari\u00e2ncia.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-0d384166725954287d0065f3a145c61a_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(X,Y)=Cov(Y,X)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"186\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Se as vari\u00e1veis forem multiplicadas por constantes, voc\u00ea poder\u00e1 primeiro calcular a covari\u00e2ncia e depois multiplicar o resultado pelas constantes.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2ea811783444fab37858b563c94c0ce7_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(a\\cdot X,b\\cdot Y)=a\\cdot b\\cdot Cov(X,Y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"273\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Adicionar termos \u00e0s vari\u00e1veis n\u00e3o afeta o resultado da covari\u00e2ncia.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-2fa1b5d5152dd55933384887aea08396_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(a+X,b+Y)=Cov(X+Y)\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"263\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> A covari\u00e2ncia entre duas vari\u00e1veis aleat\u00f3rias est\u00e1 relacionada \u00e0s suas expectativas matem\u00e1ticas. A covari\u00e2ncia entre as vari\u00e1veis X e Y \u00e9 igual \u00e0 expectativa matem\u00e1tica do produto de X e Y menos o produto da expectativa matem\u00e1tica de cada vari\u00e1vel.<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5cdc964b9ce9f0c87cf3fd8fc5eb84fd_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"Cov(X,Y)=E[X\\cdot Y]-E[X]\\cdot E[Y]\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"19\" width=\"284\" style=\"vertical-align: -5px;\"><\/p>\n<\/p>\n<ul>\n<li> Ao operar com vari\u00e1veis, a seguinte express\u00e3o alg\u00e9brica \u00e9 preenchida em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 covari\u00e2ncia:<\/li>\n<\/ul>\n<p class=\"has-text-align-center\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/statorials.org\/wp-content\/ql-cache\/quicklatex.com-5d429b5bb4e4796cc5b8c73ed0845fa2_l3.png\" class=\"ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format\" alt=\"\\begin{aligned}\\displaystyle Cov(aX+bY,cW+dV)= \\ &amp; \\displaystyle acCov(X,W)+adCov(X,V)+\\\\[2ex]&amp; +bcCov(Y,W)+bdCov(Y,V)\\end{aligned}\" title=\"Rendered by QuickLaTeX.com\" height=\"61\" width=\"457\" style=\"vertical-align: 0px;\"><\/p><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Este artigo explica o que \u00e9 covari\u00e2ncia e como ela \u00e9 calculada. 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